Enunciado

A figura abaixo mostra oito cargas puntiformes distribuídas nos vértices de um cubo cuja aresta é igual a d. Os valores das cargas são +q e -q, como indicado. Trata-se do modelo da célula unitária de um cristal iônico cúbico. Por exemplo, no cloreto de sódio (NaCl) as cargas positivas são os íons N a + ; as negativas são íons de C l - .

a)Calcule a energia potencial U desse arranjo. (Considere zero o potencial quando a distância mútua entre as oito cargas for infinita.)

b)No resultado da parte (a), provavelmente você encontrou U

Passo 1

letra a)

Energia potencial é dada por:

U = q 1 Δ V

U = q 1 k q 2 r

Agora precisamos combinar todas as 8 cargas entre si.

Passo 2

Como temos 8 cargas, teremos: 8 ( 8 - 1 ) / 2 = 28   c o m b i n a ç õ e s   d e   p a r e s

-12 pares de -q e +q separados por uma distância d (as arestas do cubo)

-12 pares de cargas iguais separados por uma distância 2 d (diagonais das faces)

-4 pares de -q e +q separados por uma distância 3 d (diagonais do cubo)

Passo 3

Substituindo essas distâncias na expressão da energia:

U = 12 × - k q 2 d + 12 × k q 2 2 d + 4 × - k q 2 3 d

U = k q 2 d - 12 1 + 12 2 - 4 3 = 12 k q 2 d - 1 1 + 1 2 - 1 3 3

U = - 5,82 k q 2 d   J

Passo 4

letra b)

A energia potencial ser negativa é favorável energeticamente para os íons do cristal ficarem juntos.

Resposta

letra a) U = - 5,82 k q 2 d   J

letra b) Energeticamente favorável para os íons ficarem juntos.

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