Enunciado

A figura abaixo mostra um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos de mesmo módulo e sentidos opostos. Mostre que o valor de E em um ponto P do eixo do quadrupolo situado a uma distância z do centro (supondo z ≫ d ) é dado por

E = 3 Q 4 π ϵ 0 z 4

em que Q ( = 2 q d 2 ) é chamado de momento quadrupolar da distribuição de cargas.

Passo 1

Olhando para a figura acima, podemos pensar em dois dipolos, cada um com um momento dipolar de módulo que conhecemos como:

p = q d

Repare que os momentos que apontam na direção do eixo do quadrupolo, estão em sentidos opostos, o primeiro dipolo aponta para esquerda e o segundo dipolo aponta para direita). Tome como positivo o sentido para a direita.

+ p ⃑

Aqui usaremos o conceito de campo elétrico produzido por um dipolo e como temos dois dipolos vamos ter que combinar esse efeito depois, ok?

Passo 2

Vamos relembrar que o campo produzido por um dipolo é igual a:

E =   q . d 2 π ϵ 0 r 3

Onde r é a distância entre o ponto onde queremos calcular o campo elétrico e o centro do dipolo causador do campo.

Assim, o campo produzido pelo dipolo da direita é

E =   q d 2 π ϵ 0 z - d 2 3  

Veja que a distância r foi substituída pela equação:

r = z - d 2

E o campo produzido pelo dipolo da esquerda é:

E =   - q d 2 π ϵ 0 z + d 2 3

Lembrando que colocamos como negativo, pois o momento dipolo aponta para esquerda e nós dissemos que nossa convenção é que todo momento dipolo que aponta para a esquerda é negativo!

Veja que nesse caso a distância r entre o centro do dipolo e o local onde queremos calcular o campo elétrico é maior e foi substituída pela equação:

r = z + d 2

Passo 3

Logo o campo elétrico gerado pelos dois dipolos elétricos é igual a soma dos campos elétricos causados por cada dipolo elétrico:

E t o t a l =   q d 2 π ϵ 0 z - d 2 3 + - q d 2 π ϵ 0 z + d 2 3

Colocando em evidência alguns termos:

E t o t a l = q d 2 π ϵ 0 × 1 z - d 2 3 - 1 z + d 2 3

Como z ≫ d ,   podemos usar as expressões binominais de aproximação, e elas serão muito necessárias pra chegarmos no formato que o enunciado pede.

z - d 2 - 3 ≈ z - 3 - 3 z - 4 - d 2  

E

z + d 2 - 3 ≈ z - 3 - 3 z - 4 d 2

Sei que isso pode assustar um pouco galera, mas fiquem tranquilos geralmente essas substituições são dadas não precisa decorar isso não, tá?

Passo 4

Temos essa equação do campo:

E t o t a l = q d 2 π ϵ 0 ⋅ 1 z - d 2 3 - 1 z + d 2 3

E agora vamos substituir aquelas aproximações:

E t o t a l = q d 2 π ϵ 0 ⋅ z - 3 - 3 z - 4 - d 2 + z - 3 - 3 z - 4 d 2

Rearrumando essa galerinha pra deixar uma carinha bonitinha temos:

E t o t a l = q d 2 π ϵ 0 ⋅ 1 z 3 + 3 d 2 z 4 - 1 z 3 - 3 d 2 z 4

E vamos rearrumar mais um pouco, não desiste não!

E t o t a l = q d 2 π ϵ 0 3 d 2 z 4 + 3 d 2 z 4 = 3 q d 2 2 π ϵ 0 z 4

Agora substituindo o nosso momento quadrupolar na expressão...

Q = 2 q d 2     ∴     q d 2 = Q 2

E t o t a l = 3 Q 4 π ϵ 0 z 4

Encontramos o campo total segundo o enunciado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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