Enunciado

A figura abaixo mostra a velocidade de uma partícula em função do tempo; (a) Qual é a magnitude, em metros, representada pela área do retângulo sombreado? (b) Estime o deslocamento de uma partícula para os dois intervalos de 1-s, um começando em t = 1,0   s e o outro em t = 2,0   s . (c) Estime a velocidade média para o intervalo 1,0   s ≤ t ≤ 3,0   s . (d) A equação da curva é v x = 0,50 m s 3 t 2 . Encontre o deslocamento da partícula para o intervalo 1,0   s ≤ t ≤ 3,0   s por integração e compare essa resposta com a do item (b); A velocidade média é igual à média das velocidades final e inicial nesse caso?

Passo 1

(a) Para calcular a área do retângulo sombreado só precisamos lembrar da fórmula para a área de um retângulo (multiplicar a base pela altura):

A = 5 m s - 4 m s 2   s - 1 s

A = 1   m

Passo 2

(b) Como podemos encontrar o deslocamento a partir de um gráfico de velocidade em função do tempo? É só calcular a área sob o gráfico.

Mas como o enunciado pediu apenas uma “estimativa”, nós podemos simplesmente “contar os quadrados” sob o gráfico nos dois intervalos.

Entre t = 1,0   s e t = 2,0   s , podemos contar “mais ou menos” um quadrado e inteiro e mais 20 % de um quadrado:

A 1 = 1 + 0,2 = 1,2   m

E entre t = 2,0   s e t = 3,0   s , podemos contar mais ou menos três quadrados inteiros e mais 20 % de outro:

A 2 = 3,0 + 0,2 = 3,2   m

Passo 3

(c) Para calcular a velocidade média no intervalo de t = 1,0   s até o t = 3,0   s , nós precisamos usar a seguinte fórmula:

v m é d = Δ x Δ t

E pela conta que acabamos de fazer, o deslocamento total é aproximadamente:

Δ x = A 1 + A 2

Δ x = 1,2 + 3,2 = 4,4   m

E isso tudo acontece em um intervalo de tempo Δ t = 3,0 - 1,0 = 2,0   s , então:

v m é d = 4,4 2,0 = 2,2   m / s

Passo 4

(d) Agora vamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo para encontrar o deslocamento no intervalo 1,0   s ≤ t ≤ 3,0   s .

v x = 0,50 m s 3 t 2

Δ x = ∫ 1 3 0,50   t 2   d t

Δ x = 0,50 3 t 3 3 1 = 0,50 3 ( 3 3 - 1 3 )

Δ x ≅ 4,3   m

Que é um resultante bastante próximo do encontrado no item b ( Δ x = 4,4   m ), considerando que o método que usamos nesse caso foi o de “contar quadrados”.

Passo 5

Por último queremos saber se, no caso desse intervalo 1,0   s ≤ t ≤ 3,0   s , a velocidade média é igual à média das velocidades final e inicial.

Nós calculamos a velocidade média desse intervalo no item (c), e encontramos o seguinte:

v m é d = 2,2   m / s

Agora vamos comparar isso com a média das velocidades final e inicial que nós podemos calcular com a função v x ( t ) que foi dada no enunciado:

v m é d = 1 2 v x 3 - v x 1

v x 3 = 0,50   3 2 = 4,5   m / s

v x 1 = 0,50   1 2 = 0,5   m / s

E então:

v m é d = 1 2 4,5 - 0,5 = 2,0   m / s

Que é um valor diferente! Isso é de se esperar, considerando que no caso do enunciado não temos aceleração constante.

Resposta

(a) Para um único quadrado temos A = 1,0   m .

(b) Os deslocamentos são de 1,2   m e 3,2   m .

(c) A velocidade média é v m é d = 2,2   m / s .

(d) O deslocamento é Δ x = 4,3   m . A velocidade média não é igual à média das velocidades final e inicial.

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