Enunciado

Suponha que a aceleração de uma partícula é uma função de x , onde a x x = 2,0   s - 2 x . (a) Se a velocidade é zero quando x = 1,0   m , qual é a rapidez quando x = 3,0   m ? (b) Quanto tempo a partícula leva parra viajar de x = 1,0   m até x = 3,0   m .

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando da relação entre a ( x ) e v ( x ) . Pela definição da aceleração temos:

a = d v d t

E usando a regra da cadeia podemos reescrever isso como:

a = d v d x d x d t = v d v d x

Ou seja:

a   d x = v   d v

Substituindo a = 2 x :

2 x   d x = v   d v

E integrando dos dois lados:

∫ v 0 v v   d v = ∫ x 0 x 2 x   d x

1 2 v 2 - 1 2 v 0 2 = x 2 - x 0 2

v 2 = v 0 2 + 2 x 2 - x 0 2

E agora é só substituir os valores do enunciado. Se v 0 = 0 quando x 0 = 1 , queremos saber o valor de v quando x = 3 , então:

v 2 = 0 2 + 2 ( 3 2 - 1 2 )

v = 4   m / s

Passo 2

(b) Agora queremos saber quanto tempo a partícula leva para viajar de x = 1,0   m até x = 3,0   m . Vamos lembrar da relação entre velocidade e posição:

v = d x d t

Como queremos calcular o tempo, vamos isolar d t :

d t = d x v

Substituindo a função para a velocidade com v 0 = 0 :

d t = d x 2 x 2 - x 0 2

E agora é só substituir os valores conhecidos e integrar (usando uma tabela):

Δ t = ∫ 1 3 d x 2 x 2 - 1 2

Δ t = 1 2 ln ⁡ 3 + 3 2 - 1 2 1 2

Δ t = 1 2 ln ⁡ ( 5,83 )

Δ t ≅ 1,2   s

Resposta

(a) v = 4   m / s .

(b) Δ t = 1,2   s .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um carro derrapa até parar a fim de não colidir com um objeto na estrada. Usando as imagens de um filme, desenhe um diagrama de movimento básico, começando no instante da derrapagem e terminando com a
O que é uma definição operacional?Dê definições operacionais para o deslocamento e a velocidade. Suas definições devem ser expressas principalmente com palavras e desenhos, usando um mínimo de símbolo
Dê uma definição operacional de aceleração. Ela deve ser expressa principalmente com palavras e desenhos, com mínimo de símbolos ou de matemática.
Uma jogadora de softball desliza até a segunda base. Usando um modelo de partícula, desenhe um diagrama de movimento que mostre a posição da jogadora e seus vetores velocidade média desde o instante e
Dois ladrões de banco estão trafegando com uma velocidade constante em seu carro de fuga quando enxergam a polícia. Eles, então começam a acelerar. Usando as imagens de um filme, desenhe um diagrama d