Enunciado

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Na figura (a) abaixo, uma placa de plástico de forma irregular, com espessura e massa específica (massa por unidade de volume) uniformes, gira em torno de um eixo perpendicular à face da placa passando pelo ponto O. O momento de inérica da placa em torno desse eixo é medido usando o seguinte método: um disco circular de massa 0,500 Kg e raio 2,00 cm é colado na placa, com o centro coincidindo com O, figura (b). Um barbante é enrolado na borda do disco como se o disco fosse um pião e puxado durante 5,00 s. Em consequência, o disco e a placa são submetidos a uma força constante de 0,400 N, aplicada pelo barbante tangencialmente à borda do disco. A velocidade angular resultante e 114 rad/s. Qual é o momento de inércia da placa em relação ao eixo?

Passo 1

Belezoca galerinha bonita, sabemos que energia cinética de rotação é calculada por:

K = I ω 2 2

Enquanto que o torque resultante é dado como:

τ r e s = I α

τ r e s = R × F

Combinando as duas equações, descobrimos que:

R × F = I α

E para o cálculo da velocidade angular, podemos usar a equação:

ω = ω 0 + α t

Como a velocidade inicial é zero ω 0 = 0 , obtemos que:

α = ω t

Juntando tudo isso, descobrimos que:

R × F = I ω t

Isolando o momento de inércia total I , vamos obter:

I = R F t ω

Passo 2

E como a placa é colocado sobre o disco, o momento inércia total do conjunto disco-placa é dado como a soma dos momentos de inércia individuais, tal que:

I = I p l a c a + I d i s c o

Onde o momento de inércia do disco pode ser calculado através da fórmula:

I d i s c o = 1 2 M R 2

Sendo assim, o momento de inércia da placa I p l a c a será dado como:

I p l a c a = I - I d i s c o

I =   R F t ω + M R 2 2  

Subsituindo pelos valores que o enunciado nos fornece, descobrimos que:

I = 0,02   m 0,400   N 5,00   s 114   rad/s + 0,50   kg 0,02   m 2 2

I = 2,51 × 1 0 - 4     kg. m 2

Resposta

I = 2,51 × 1 0 - 4     kg. m 2

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