Enunciado

Na Figura, duas barras retangulares metálicas de mesmas dimensões e feitas da mesma substância são soldadas pelas faces de menor área e mantidas a uma temperatura T 1   =   0 º C do lado esquerdo e a uma temperatura T 2   =   100 º C do lado direito . Em 2,0 min, 10 J

são conduzidos a uma taxa constante do lado direito para o lado esquerdo. Que tempo seria necessário para conduzir 10 J se as placas fossem soldadas pelas faces de maior área, como na Figura?

Passo 1

O “segredo” dessa questão é a gente enxergar de cara que a potência de condutividade é proporcional à razão A / L (área/comprimento), pois:

P = k A T 2 - T 1 L

Em que T 1 e T 2 são respectivamente as temperaturas de cada extremidade, na ordem inversa ao sentido do fluxo de calor.

Primeiro, vamos entender os dois casos separadamente, ok?

A situação em (a) é:

O calor passa de T 2 para T 1 , pois T 2 está mais quente. Além disso, temos que A B é a área da base das placas e L B é o comprimento delas.

Agora, repare que na fórmula para a potência, nossa área será A = A B e o comprimento L = 2 L B . Então, em (a), nossa fórmula para a potência é:

P a = k A B T 2 - T 1 2 L B

Já em (b):

O calor continua passando no mesmo sentido! A diferença é que nossa área, agora, é A = 2 A B e nosso comprimento L = L B . Logo, nossa fórmula em (b) fica:

P b = k ( 2 A B ) T 2 - T 1 L B

Você pode ver que as únicas coisas que mudam entre as duas situações são a área e o comprimento. Pois as temperaturas finais e iniciais são iguais, além da condutividade também ser, já que não mudamos o material, show?

Passo 2

Se tirarmos a razão entre as potências, podemos saber a razão entre os tempos que vão demorar em cada situação:

P b P a = k ( 2 A B ) T 2 - T 1 L B k A B T 2 - T 1 2 L B

P b P a = k ( 2 A B ) T 2 - T 1 L B ∙ 2 L B k A B T 2 - T 1

E, então, podemos simplificar o k , ( T 2 - T 1 ) , A B e L B :

P b P a = 2 1 ∙ 2 1

Arrumando isso:

P b = 4 P a

Consequentemente, no caso (b) seria necessário um tempo de 2 m i n u t o s 4 = 0,5   m i n u t o para que a mesma quantidade de calor passe pelas placas soldadas, pois sua potência é 4 vezes maior que a potência em (a). Não acredita em mim? Vou te mostrar!

Passo 3

O enunciado nos deu que em 2 m i n = 120 s passaram 10 J na situação (a). O que nos dá uma potência de:

P a = E n e r g i a t e m p o

P a = 10 120 = 1 12 W

Substituindo na fórmula do passo anterior:

P b = 4 P a

P b = 4 12 = 1 3 W

Passo 4

Como vimos, a potência é calculada pela energia dividida pelo tempo. No caso (b), queremos saber quanto tempo demoraria para passarem os 10 J . A fórmula fica assim, então:

P b = 10 t

E já calculamos quanto é essa potência:

1 3 = 10 t

t = 30 s

E 30 s = 0,5 m i n , então: t = 0,5 m i n . Esse é o tempo que demoraria em (b). Show?

Resposta

0,5   m i n

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