Enunciado

Na figura, um feixe de raios X com um comprimento de onda de 0,125   n m incide em um cirstal de NaCl fazendo um ângulo de θ = 45,0 ° com a face superior do cristal e com uma famíia de planos refletores. O espaçamento entre os planos refletores é d = 0,252   n m . O cristal é girado de um ângulo ϕ em torno de um eixo perpendicular ao plano do papel até que os planos refletores produzam máximos de difração. Determine (a) o menor e (b) o maior valor de ϕ se o cristal for girado no sentido horário e (c) o maior e (d) o menor valor de ϕ se o cristal for girado no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos lembrar da expressão matemática da Lei de Bragg:

2 d sen ⁡ θ = m λ

Podemos isolar o ângulo de incidência:

sen ⁡ θ = m λ 2 d = m 0,125 2 0,252 = 0,248   m

θ = arcsen ⁡ 0,248 m

Vamos calcular esse ângulo θ para os primeiros valores de m :

Quando m = 1 ou m = 2 , o ângulo de incidência é menor do que 45 ° , o que indica que o plano está sendo rotacionado no sentido horário.

Quando m = 3 ou m = 4 , o ângulo é maior do que 45 ° , o que indica que o plano está sendo rotacionado no sentido anti-horário.

Para m = 5 ou mais já não conseguimos calcular o valor do ângulo (já que sen ⁡ x ≤ 1 ).

Passo 2

(a) Pela nossa tabela, dá pra ver que o caso em que o ângulo de incidência diminui menos é quando m = 2 .

Já que o ângulo foi de 45 ° para 29,7 ° , isso quer dizer que o cristal foi girado em:

ϕ = 45 ° - 29,7 ° = 15,3 °

(b) Pela mesma lógica, o maior deslocamento do ângulo no sentido horário acontece quando m = 1 .

Nesse caso o ângulo vai de 45 ° até 14,4 ° , ou seja, o deslocamento total foi:

ϕ = 45 ° - 14,4 ° = 30,6 °

Passo 3

(c) Pela tabela do passo 1, também dá pra ver que a menor rotação no sentido anti-horário acontece para m = 3 .

Nesse caso, o ângulo vai de 45 ° para 48,1 ° , então:

ϕ = 48,1 ° - 45 ° = 3,1 °

(d) E por último, no caso em que m = 4 o ângulo vai de 45 ° para 82,7 ° , então:

ϕ = 82,7 ° - 45 ° = 37,8 °

Resposta

(a) ϕ = 15,3 ° .

(b) ϕ = 30,6 ° .

(c) ϕ = 3,1 ° .

(d) ϕ = 37,8 ° .

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