Enunciado

A figura mostra um jorro d’água saindo por um furo a uma distância h = 10   c m   da superfície de tanque que contém H = 40   c m de água. (a) A que distância x a água atinge o solo? (b) A que profundidade deve ser feito um segundo furo para que o valor de x seja o mesmo? (c) A que profundidade deve ser feito um furo para que o valor de x seja o maior possível?

Passo 1

Falaaa galerinha do RespondeAí, tudo certinho?

Na letra (a) queremos descobrir qual distância um jorro d’água atinge quando ele parte de uma profundidade h em um tanque. Pra isso precisamos saber a que velocidade ele sai do tanque.

É só a gente aplicar a equação de Bernoulli ao furo e à superfície da água:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

As duas pressões são iguais e a velocidade na superfície é zero então a fórmula fica:

ρ g y 1 = 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

Cortando a densidade, fazendo y 1 - y 2 = h e isolando a velocidade, achamos a fórmula para a velocidade no furo:

v 2 = 2 g h

Essa fórmula aparece bastante, então a gente saber ela de cabeça pode ser uma boa pra economizar tempo na hora da prova.

Passo 2

Agora que temos a velocidade, vira um problema de Física I. Lá a gente aprendeu que o movimento horizontal e o vertical são independentes, vamos usar isso aqui.

A distância que o jorro d’água percorre até chegar no chão é:

x = v Δ t

Onde Δ t é o tempo total do movimento. E quem cria um limite pra duração do movimento? A gravidade, que faz o jorro cair em direção ao chão. Vamos usar uma fórmula conhecida pra achar quanto tempo isso leva.

y = y o + v 0 y Δ t + a Δ t 2 2

Como a velocidade inicial é toda na horizontal, vamos ter v 0 y = 0 . E a altura de onde o jorro cai é H - h

0 = ( H - h ) - g Δ t 2 2

Δ t = 2 ( H - h ) g  

E a fórmula do x fica:

x = v 2 ( H - h ) g  

Agora substituindo o que achamos pra velocidade:

x = 2 g h 2 ( H - h ) g   = 2 h H - h

Substituindo os valores:

x = 2 0,10 0,40 - 0,10 = 2 0,03 = 0,35 m

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 3

Na letra (b) podemos aproveitar a fórmula que acabamos de achar. A questão quer saber a qual profundidade podemos fazer um segundo furo que dê o mesmo valor de x .

Na nossa fórmula, a profundidade do furo é dada por h , então queremos:

x = 2 h H - h = 0,35

Vamos ver quantas soluções conseguimos achar pra essa equação. Elevando tudo ao quadrado:

4 H h - h 2 = 0,1225

- 4 h 2 + 4 H h - 0,1225 = 0

Substituindo H = 0,4   m

- 4 h 2 + 1,6 h - 0,1225 = 0

Dividindo tudo por - 4 e arredondando:

h 2 - 0,4 h + 0,03 = 0

Uma das raízes é a profundidade que a própria questão deu: h = 0,10 , podemos usar isso pra facilitar a identificação da segunda raiz:

h 2 - 0,4 h + 0,030 = ( h - 0,10 ) ( h - 0,30 )

Pronto, a segunda raiz e h = 0,30   m .

E essa é a resposta do item (b).

Passo 4

Na letra (c) podemos continuar usando nossa fórmula, mas agora queremos saber qual a profundidade que maximiza o valor de x . Nossa função é:

x = 2 h H - h

Como maximizamos uma função? Tranquilo, é só derivar e procurar os pontos críticos.

Precisamos usar a regra da cadeira para derivar x em relação à h . Fazendo a derivada daquela raiz inteira vezes a derivada do que está dentro da raiz

d x d h = 2 1 2 h H - h H - 2 h = H - 2 h h H - h

Pra achar os pontos críticos da função, vamos igualar essa derivada a zero:

H - 2 h h H - h = 0

Substituindo H = 0,4   m

0,4 - 2 h 0,4 h - h 2 = 0

E a única raiz da equação é a que faz o numerador ser zero:

0,4 - 2 h = 0

h = 0,20   m

Fazendo um gráfico dá pra ver que esse é realmente o valor que maximiza a função:

Resposta

(a) x = 0,35   m

(b) h = 0,30   m

(c) h = 0,20   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um tanque cilíndrico com um grande diâmetro é preenchido com água até uma profundidade D = 0,30 m . um furo de seção transversal de área A = 6,5c m ² ² no fundo do tanque permite a drenagem da água. (
O tubo de Pitot (veja o problema 62) de um avião que está voando a grande altitude mede uma diferença de pressão de 180P a . Qual é a velocidade do ar se a massa específica do ar nessa altitude é 0,03
Um cano com diâmetro interno de 2,5c m transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade 0,90m / s com uma pessão de 170k P a . Se o cano se estreita para 1,2c m e sobe para o segundo piso, 7,
Na figura, a água atravessa um cano horizontal e sai para a atmosfera com uma velocidade v 1 = 15m / s . Os diâmetros dos segmentos esquerdo e direito do cano são 5,0c m e 3,0c m . (a) Que volume de á
O tubo de Pitot (veja a figura) é usado para medir a velocidade do ar nos aviões. Ele é formado por um tubo externo com pequenos furos B (quatro são mostrados na figura) que permitem a entrada de ar n