Enunciado

A figura mostra um diagrama muito simplificado do sistema de drenagem de água da chuva de uma casa. A chuva que cai no telhado inclinado escorre para as calhas da borda do telhado e desce por canos verticais (apenas um é mostrado na figura) para um cano principal M abaixo do porão, que leva a água para um cano ainda maior, situado no subsolo. Na figura, um ralo no porão também está ligado ao cano M . Suponha que as seguintes condições são verdadeiras:

  1. os canos verticais têm um comprimento h 1 = 11   m ;
  2. o ralo do porão fica a uma altura h 2 = 1,2   m em relação ao cano M ;
  3. o cano M tem um raio de 3,0   c m ;
  4. a casa tem L = 60   m de fachada e P = 30   m de profundidade;
  5. toda água que cai no telhado passa pelo cano M ;
  6. a velocidade inicial da água nos canos verticais é desprezível;
  7. a velocidade do vento é desprezível (a chuva cai verticalmente)

Para que índice de precipitação, em centímetros por hora, a água do cano M chega à altura do ralo, ameaçando inundar o porão?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, tudo belezinha com vocês?

Nesse exercício aqui, temos um diagrama bem feio, mas vamos focar na pergunta: qual índice de precipitação da chuva permite que a água do cano chegue ao topo do ralo?

Outra forma de perguntar isso é: Quão rápido a água tem que estar fluindo pelo cano M pra fazer com que a altura da água chegue ao topo do ralo?

Vamos supor que todo o cano está preenchido por água, e chamar de A o ponto no topo da calha e de B o ponto, no cano M , logo abaixo do ralo. Podemos comparar os dois pontos usando a equação de Bernoulli:

p A + 1 2 ρ v A 2 + ρ g y A = p B + 1 2 ρ v B 2 + ρ g y B

Passo 2

A pressão p A no topo da calha é simplesmente a pressão atmosférica, e a pressão no ponto abaixo do ralo é a pressão atmosférica somada à pressão da coluna de água que preenche o ralo, ou seja:

p B = p a t m + ρ g h 2

Substituindo isso na equação:

p a t m + 1 2 ρ v A 2 + ρ g y A = p a t m + ρ g h 2 + 1 2 ρ v B 2 + ρ g y B

1 2 ρ v A 2 + ρ g y A = ρ g h 2 + 1 2 ρ v B 2 + ρ g y B

E a velocidade em cada um dos pontos? No topo da calha pode ser considerada zero (lembrando que estamos considerando o cano preenchido), e no cano é a que queremos calcular:

ρ g y A = ρ g h 2 + 1 2 ρ v B 2 + ρ g y B

A altura y B também pode ser considerada como zero, e a y A = h 1

ρ g h 1 = ρ g h 2 + 1 2 ρ v B 2

E isolando a velocidade v B :

v B = 2 g ( h 1 - h 2 )

Então a velocidade v B no cano M vai ser:

v B = 2 9,8 11 - 1,2 = 13,86   m / s

Precisamos agora ver a qual precipitação isso equivale.

Passo 3

O enunciado diz que a água cai no telhado e, logo em seguida, escorre para dentro da calha e depois para o cano M . Podemos igualar as vazões de todos esses pontos.

Mas pra resolver a questão, o mais importante é ver o telhado (sobre o qual queremos calcular a precipitação) e o cano M (onde já calculamos a velocidade da água):

v T A T = v C M A C M

Vamos calcular as duas áreas, começando pelo cano M :

A C M = π r 2 = 3,14 0,03 2 = 2,83   .   10 - 3   m 2

E a área do telhado (lembrando que temos que considerar o telhado todo, porque o enunciado avisou que tem mais uma calha no sistema):

A T = L . P = 60 30 = 1800   m 2

Essa não é a área de superfície do telhado, é a área da região de onde a água vai para o telhado. Como se fosse a área desse retângulo imaginário “captando” a água que cairia no telhado:

Agora a equação da continuidade lá em cima fica assim:

v T A T = v C M A C M

v T 1800 = ( 13,86 ) ( 2,83.10 - 3 )

E a velocidade com que a chuva cai no telhado é:

v T = 13,86 2,83.10 - 3 1800 = 2,18   .   10 - 5   m / s

Convertendo isso para centímetros por hora, sabendo que uma hora tem 3600   s :

2,18   .   10 - 5 m s = 2,18   .   10 - 5 10 2 c m ( 1 / 3600 ) h = 7,8   c m / h

Resposta

A precipitação deve ser de 7,8   c m / h .

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