Enunciado

A figura mostra um sifão, que é um tubo usado para transferir líquidos de um recipiente para outro. O tubo A B C deve estar inicialmente cheio, mas, se essa condição é satisfeita, o líquido escoa pelo tubo até que a superfície do líquido no recipiente esteja no mesmo nível que a extremidade A do tubo. O líquido tem uma massa específica de 1000   k g / m 3 e viscosidade desprezível. As distâncias mostradas na figura são h 1 = 25   c m , d = 12   c m , e h 2 = 40   c m . (a) Com que velocidade o líquido sai do tudo no ponto C ? (b) Se a pressão atmosférica é 1,0 , 10 5   P a , qual é a pressão do líquido em B , o ponto mais alto do tubo? (c) Teoricamente, até que altura máxima h 1 esse sifão pode fazer a água subir?

Passo 1

Show de bolinhas galerinha do RespondeAí, tudo beleza?

Nesse exercício aqui, temos um sifão, que deveria estar inicialmente cheio, mas se essa condição fosse satisfeita, o liquido deveria escoar pelo tubo até que a superfície do liquido o recipiente onde o sifão está contido, ficasse no mesmo nível que a extremidade A do sifão.

Sabendo que o liquido possui densidade ρ = 1000   kg/m³ e as alturas são h 1 = 25   cm , d = 12   cm e h 2 = 40   cm , na letra (a), o enunciado pede pra gente encontrar com que velocidade o liquido sai do tubo no ponto C .

Iradosom então como queremos encontrar a velocidade de um fluido, quando temos a pressão e a altura, podemos pensar logo na equação de Bernoulli, dada como:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

Agora, essa equação comparar dois pontos do sistema, a grande questão é escolher quais pontos nós vamos comparar. Bora lá.

Passo 2

Belezoca, então o ponto C vai ser um dos pontos em que vamos aplicar a equação. E o outro? Vamos escolher um que seja mais simples.

Vamos chamar de D um ponto na superfície do recipiente onde ele estaria sujeito apenas à pressão atmosférica, tem velocidade nula e altura y D conhecida em relação ao ponto C .

Aplicando a equação de Bernoulli:

p D + 1 2 ρ v D 2 + ρ g y D = p C + 1 2 ρ v C 2 + ρ g y C

Como o ponto C também tem uma abertura para o exterior, a pressão sobre ele também é a pressão atmosférica, portanto:

p D = p C = p a t m

Assim:

1 2 ρ v A 2 + ρ g y A = 1 2 ρ v C 2 + ρ g y C

Arrumando um pouquinho:

ρ g y D - y C = 1 2 ρ ( v C 2 - v D 2 )

Como o ponto D está na superfície do recipiente, teremos que a variação de altura entre C e D vai ser dada como:

y D - y C = d + h 2

E como v D = 0 , obtemos:

g d + h 2 = 1 2 ( v c 2 )

Isolando a velocidade v c :

v C = 2 g d + h 2

Substituindo os valores:

v C = 2 9,8 0,12 + 0,4

v c = 10,192

v c = 3,2   m/s

Passo 3

(b) Agora queremos saber qual é a pressão no ponto B , que fica no topo do tubo em U.

E vamos aplicar a equação de Bernoulli entre esse ponto e o ponto C , já que nós já sabemos bastante sobre ele:

p B + 1 2 ρ v B 2 + ρ g y B = p C + 1 2 ρ v C 2 + ρ g y C

A pressão p B é o que queremos descobrir, e o ponto C está aberto para a atmosfera.

Como os dois pontos estão no mesmo “tubo”, pela equação da continuidade:

A v B = A v C

v B = v C

E a equação de Bernoulli fica:

p B + ρ g y B = p a t m + ρ g y C

Arrumando os termos, teremos que:

p B = p a t m + ρ g ( y C - y B )

p B = 10 5 + ( 10 3 ) ( 9,8 ) ( - h 1 + h 2 + d )

Logo:

p B = 10 5 - 7546

p B = 92454   Pa

p B = 9,2 × 10 4   Pa

E essa é a resposta da letra (b).

Passo 4

A letra (c) é uma pergunta um pouco mais conceitual: até que altura h 1 máxima o sifão poderia fazer a água subir?

Conforme o topo do sifão fica mais alto, a pressão naquele ponto B vai diminuindo. No limite, a pressão fica praticamente zero. Vamos ver em qual altura isso acontece.

Aproveitando a fórmula que tínhamos achado logo acima:

p B = p a t m - ρ g ( h 1 + h 2 + d )

De modo que:

p a t m - ρ g h 1 + h 2 + d ≥ 0

O que nos dá:

p a t m ≥ ρ g h 1 + h 2 + d

ρ g h 1 + h 2 + d ≤ p a t m

Isolando h 1 :

h 1 ≤ p a t m ρ - h 2 - d

Então na situação extrema onde h 2 = d = 0   cm , teremos que a altura máxima h 1 será:

h 1 m á x = p a t m ρ

Logo:

h 1 m á x = 1,01 × 10 5 1000

h 1 m á x = 10,3   m

Prontinho!

Resposta

(a) v = 3,2   m/s

(b) p B = 9,2 × 10 4   Pa  

(c) h 1 m á x = 10,3   m

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