Enunciado

A força de arrasto em uma esfera em movimento a um nível muito baixo de número de Reynolds é dado por F D = 6 π η a v , onde está a viscosidade do fluido circundante e a é o raio da esfera. (Essa relação é chamada Lei de Stokes.) Usando essas informações, encontre a velocidade terminal da subida para uma bolha esférica de dióxido de carbono com 1,0 mm de diâmetro subindo em uma bebida carbonatada ( ρ = 1,1   K g / L e η = 1,8   m P a ∙ s ). Quão mais deve demorar para que essa bolha suba 20 cm (a altura da bebida vidro)? Esse período de tempo é consistente com suas observações?

Passo 1

Vamos tentar imaginar a situação na qual a bolha esférica se encontra. Note que há três forças presentes na bolha.

1ª) Força flutuante na bolha, dada pelo princípio de Arquimedes.

2ª) Força peso, massa vezes a gravidade

3ª) Força de arrasto

A imagem abaixo pode facilitar ainda mais a visualização do que acontece na bolha.

Passo 2

Lembra da segunda Lei de Neto, que afirma:

∑ F y = m a y

Vamos utilizar para acharmos uma relação entre as forças, desse modo,

B - m g g - F D = m a y

Onde, m g , é a massa do gás.

Como a velocidade de princípio é constante a aceleração é igual a 0. Portanto,

B - m g g - F D = 0

Vamos guardar por enquanto essa equação.

Passo 3

Como dito anteriormente, B é a força flutuante, que é dada pelo princípio de Arquimedes:

B = m f g = ρ s V b o l h a g

Onde:

m f =   massa do fluido

V b o l h a =   volume da bolha

ρ s =   densidade do refrigerante

Também podemos expressar a massa, m g , em função da sua densidade. Com isso,

m g = ρ g V g = ρ g V b o l h a

Passo 4

Substituindo as equações que achamos, na equação que relaciona as forças

B - m g g - F D =   ρ s V b o l h a g - ρ g V b o l h a -   6 π η a v t = 0    

Isolando a velocidade temos,

v t = V b o l h a g ρ s - ρ g 6 π η a  

v t =   4 3 π a 3 g ρ s - ρ g 6 π η a  

v t =   2 a 2 g ρ s - ρ g 9 η   ≈   2 a 2 g ρ s 9 η

Podemos fazer essa aproximação, pois a densidade no refrigerante é muito mais que a densidade do gás.

Passo 5

Estamos quase lá. Agora vamos substituir os valores para acharmos a velocidade, sabendo a velocidade, temos a altura, podemos achar o tempo.

v t = 2 0,5 * 10 - 3 2 9,81 1,1 * 10 3 9 ( 1,8 * 10 - 3 ) = 0,333   m / s

Como,

v t = h Δ t

Δ t = h v t = 0 , 2 0,333 = 0 , 6 s

Observe que, o tempo parece razoável com o que observamos no dia a dia.

Resposta

0,6 s

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