Enunciado

A FIGURA P3.24 mostra os vetores   A → e   B → . Seja  C → =   A → +   B → .

  1. Reproduza a figura sobre sua folha de papel tão precisamente quanto possível, usando uma régua e um transferidor. Sobre sua figura, desenhe o vetor   C → usando o método gráfico de soma de   A → e   B → . Depois, determine o módulo e a orientação de   C → medindo-os com a régua e o transferidor.
  2. Com base na figura do item anterior, usando geometria e trigonometria, calcule o módulo e determine a orientação de   C → .
  3. Decomponha os vetores A → e B → , depois use os componentes para determinar algebricamente o módulo e a orientação de C → .

Passo 1

  1. Reproduza a figura sobre sua folha de papel tão precisamente quanto possível, usando uma régua e um transferidor. Sobre sua figura, desenhe o vetor   C → usando o método gráfico de soma de   A → e   B → . Depois, determine o módulo e a orientação de   C → medindo-os com a régua e o transferidor.
  2. Para realizar a soma gráfica vamos refazer a figura, mas colocando a calda do vetor   B → na ponta do vetor   A → :

    Agora vamos ligar a caldo do vetor   A → com a ponta do vetor   B → e teremos o vetor   C → :

    Prontinho!

    Quando a gente mede com a régua e transferidor vamos achar que:

    C = 4,7

    θ C = 33 °

    Passo 2

  3. Com base na figura do item anterior, usando geometria e trigonometria, calcule o módulo e determine a orientação de   C → .

Dá uma olhada nessa imagem aqui:

Vamos utilizar a lei dos cossenos para calcular o módulo:

C 2 = B 2 + A 2 + 2 A B cos ⁡ β

Os módulos dos vetores   A → e   B → foram dados na figura:

A = 3

B = 2

E

β = 60 ° - 20 ° = 40 °

Então:

cos ⁡ β = cos ⁡ 40 ° = 0,77

Logo:

C = B 2 + A 2 + 2 A B cos ⁡ β

C = 4,71

Passo 2

Para acharmos o ângulo θ C vamos utilizar a lei dos senos.

Vou redesenhar aqui a imagem pra ficar mais claro:

Olhando para o triângulo formado pelos vetores   A → , B → e C → , podemos escrever a lei dos senos:

s e n   α B =   s e n   γ C

Precisamos saber quem é γ e pela imagem vemos que:

γ = 180 ° - β

γ = 180 ° - 40 ° = 140 °

E:

s e n   γ = s e n   140 ° = 0,64

Retornando a lei dos senos:

s e n   α 2 =   0,64 4,71

s e n   α = 0,64 4,71   x   2 = 0,27

Para acharmos quem é α temos que fazer a função inversa do seno, o arcseno:

s e n   α = 0,27

a r c s e n   0,27 =   α

α = 15,7

Mas não é α que queremos saber né, é θ C :

θ C = 20 ° + α = 20 ° + 15,7 ° = 35,7 °

Passo 3

  1. Decomponha os vetores A → e B → , depois use os componentes para determinar algebricamente o módulo e a orientação de C → .

Vamos decompor os vetores   A → e   B → , sempre lembrando daquele macete: A componente que está COlada com o ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o COsseno do ângulo. Já a componente que está SEparada do ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o SEno do ângulo.

Para   A → :

A x = A cos ⁡ 20 °

A y = A sen ⁡ 20 °

Temos que:

s e n   20 ° = 0,34

cos ⁡ 20 ° = 0,94

Então:

A x = 2,82

A y = 1,02  

Para   B → :

B x = B cos ⁡ 60 °

B y = B sen ⁡ 60 °

Temos que:

s e n   60 ° = 3 2

cos ⁡ 60 ° = 1 2

Então:

B x = 1

B y = 1,73  

Passo 4

Agora que já achamos as componentes de   A → e   B → , vamos achar as componentes do vetor   C → .

Como   C → é a soma entre os vetores   A → e   B → , as componentes de   C → também serão a soma das componentes de   A → e   B → :

C x = A x + B x = 3,82

C y = A y + B y = 2,75

Passo 5

Agora para calcular o módulo vamos fazer:

C = C x 2 + C y 2

C = 3,82 2 + 2,75 2

C = 4,71

Agora, para achar o ângulo θ C vamos fazer:

t g   θ C = C y C x

a r c t g   C y C x = θ C

θ C = a r c t g 2,75 3,82 = 35,7 °

Ufa!! Demorou, mas foi =)

Resposta

  1. C = 4,7 ; θ C = 33 °
  2. C = 4,71 ; θ C = 35,7 °
  3. C = 4,71 ; θ C = 35,7 °
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