Enunciado

A FIGURA PD13.76 mostra uma partícula de massa m a uma distância x do centro de um cilindro muito fino, de massa M e comprimento L. A partícula se encontra fora do cilindro, de modo que x > L/2.

a. Calcule a energia potencial gravitacional das duas massas.

b. Use o que você sabe sobre a relação entre força e energia potencial para determinar o módulo da força gravitacional exercida sobre m quando ela estiver na posição x.

Passo 1

Queremos calcular a energia potencial de interação entre uma massa m e um corpo extenso. Como podemos fazer isso? Sabemos que a energia potencial de interação entre duas partículas, uma de massa m e a outra de massa M é dada por:

U = - G m M x

sendo G a constante universal da gravitação e x a distância entre as partículas. Podemos utilizar tal expressão, considerando que o corpo rígido é formado por infinitas “partículas”, cada uma com massa d m . Veja na figura abaixo.

A energia potencial das partículas de massas d m e m é:

d U = - G m   d m x - z

A seguir, devemos somar todas as contribuições de todas as partículas da barra. Como fazemos isso? Integrando, logicamente :D

Por fim, o item b) nos pede para relacionar a energia potencial com a força. Lembremos que a força gravitacional é uma força conservativa. Assim, há uma relação entre a força e energia potencial dada por

F = - d U / d x

Passo 2

  1. Okay, vamos agora usar o fato de que a barra possui densidade linear constante:

    λ = M L

    Assim, a massa d m pode ser relacionada com seu comprimento d z por:

    λ = d m d z d m = λ   d z d m = M L   d z

    Assim, temos:

    d U = - G m M L   d z x - z d U = - G m M L d z x - z

    Integrando, temos:

    U = - G m M L ∫ z = - L 2 z = L 2 d z x - z

    Notemos que:

    ∫ d z x - z = - ln ⁡ x - z + c o n s t a n t e

    Dessa forma, temos que:

    U = - G m M L - ln ⁡ x - z z = - L 2 z = L 2 U = - G m M L - ln ⁡ x - L 2 - - ln ⁡ x + L 2 U = - G m M L ln ⁡ x + L / 2 x - L / 2  

    onde usamos que ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ ( a / b ) .

    Passo 3

  2. Temos que

F = - d U d x F = - d d x - G m M L ln ⁡ x + L / 2 x - L / 2 F = G m M L d d x ln ⁡ x + L 2 - ln ⁡ x - L 2 F = G m M L d d x ln ⁡ x + L 2 - d d z ln ⁡ x - L 2 F = G m M L 1 x + L / 2 - 1 x - L / 2 F = G m M L x - L / 2 - x - L / 2 x + L / 2 x - L / 2 F = G m M L ⋅ - L x 2 - L 2 / 4 F = - G m M x 2 - L 2 / 4

é a expressão da força.

Resposta

  1. U = - G m M L ln ⁡ x + L / 2 x - L / 2
  2. F = - G m M x 2 - L 2 / 4
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