Uma fina haste de vidro é dobrada em um semicírculo de raio r . Uma carga + q é uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma carga - q é uniformemente distribuída ao longo da metade inferior, conforme mostrado na Fig. 26-28. Determine o campo elétrico E → em P , o centro do semicírculo.

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Vamos desenhar um pequeno esboço do problema. Teremos a seguinte situação:

O nosso problema pede pra gente calcular o campo elétrico no centro do círculo, pra isso, podemos ver que teremos tanto uma contribuição de cima quanto de baixo do anel, no centro.

Malandramente a gente pode perceber uma certa simetria no problema, consegue visualizar? As cargas produzirão, no centro do anel, um campo elétrico. Mas, a medida que a gente avalia todas as cargas distribuídas pelo anel, teremos uma resultante apenas na direção vertical, já que há uma simetria em torno de y ! Esse tipo de análise pode simplificar muito a nossa vida e nossas contas.

Podemos encontrar o campo elétrico produzido pelas duas partes avaliando a contribuição de cada infinitésimo de carga d q distribuído pelas duas superfícies. Dessa forma, teremos uma espécie de densidade linear de carga pelas duas metades do anel, dada por:

λ = d q d l = q π r

Com isso em mente, vamos para a resolução da questão!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte superior. Imagina uma pequena carga d q do semi anel superior. Esse pequeno elemento de carga produzirá, no centro, um campo elétrico d E s u p com a seguinte expressão:

d E = 1 4 π ϵ 0 d q r 2  

Se imaginarmos agora que essa carga vem justamente de uma porção d l do comprimento do semi anel, podemos deduzir essa porção como sendo:

d l = r d θ

Dessa forma, nossa densidade linear de carga será:

λ = d q r d θ

Ou melhor:

d q = λ r d θ

Dessa forma, podemos substituir na nossa expressão para o campo elétrico, na forma:

d E → = λ 4 π ϵ 0 r d θ r 2 r ^

Como queremos a contribuição total, devemos ter em mentes que as contribuições na direção x ^ serão simétricas, ou seja, só teremos resultante em y . Nossa integral será em relação a componente vertical do campo elétrico.

r ^ = c o s θ i ^ + s e n θ j ^

d E → R = λ 4 π ϵ 0 r d θ r 2 c o s θ   i ^ + s e n θ   j ^

Sendo assim, basta que a gente integre a expressão pro nosso infinitésimo de campo elétrico sob todo o comprimento do anel. Em outras palavras, vamos integrar a expressão de 0 ≤ θ ≤ π .

d E y = d E ⋅ s e n θ

d E y = λ 4 π ϵ 0 r d θ r 2 ⋅ s e n θ

E y = ∫ 0 π λ 4 π ϵ 0 r   s e n θ   d θ r 2

Teremos então que:

E → y = λ ⋅ r 4 π ϵ 0 r 2 ∫ 0 π s e n θ   d θ

Finalmente, temos que:

E y s u p = 2 π ⋅ q 4 π ϵ 0 r 2

Passo 3

Analisando a parte inferior, realizaremos o mesmo raciocínio, a única diferença é que teremos uma carga negativa, apenas.

Pela simetria do problema, novamente teremos apenas contribuições em y . Dessa forma, nosso campo total será:

d E → = d E c o s θ i ^ + s e n θ j ^

Nossa componente vertical será:

∫ 0 π d E ⋅ s e n θ = ∫ 0 π λ 4 π ϵ 0 r s e n θ d θ r 2

Simplificando nossa integral, teremos:

E y i n f = λ ⋅ r 4 π ϵ 0 r 2 ∫ 0 π s e n θ   d θ  

Finalmente:

E y i n f = 2 π q 4 π ϵ 0 r 2

Passo 4

Nosso campo elétrico resultante será:

E R = E y s u p + E y i n f

E R = 2 π q 4 π ϵ 0 r 2 + 2 π q 4 π ϵ 0 r 2

E → R = 4 π ⋅ q 4 π ϵ 0 r 2   y ^

Resposta

E → R = 4 π ⋅ q 4 π ϵ 0 r 2   y ^

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