Enunciado

No final da série de óperas de Wagner, O Anel dos Nibelungos. Brunhilda tira o anel de ouro do dedo de Siegfried e joga-o dentro do Reno, onde o anel submerge até o fundo. Supondo que anel fosse pequeno o bastante comparado à profundeza do rio para ser considerado um ponto e que o Reno tenha 10   m de profundidade no ponto em que o anel foi jogado, qual é area do maior círculo na superfície da água em que a luz do anel poderia escapar da água?

Passo 1

A luz para de escapar para o ar a partir do momento que atingir o ângulo critico, pois além desse ângulo, ocorrerá apena, a reflexão total da luz. Então vamos descobrir qual é o ângulo critico, e depois vamos achar a área do circulo relacionada a esse ângulo.

Passo 2

Vamos aplicar a lei de snell na interface entre a água e o ar.

n 1 sen ⁡ θ 1 = n 2 sen ⁡ θ 2

1,333 ⋅ sen ⁡ θ 1 = 1 ˙ sen ⁡ 90

Então;

θ 1 = 48,6 °

Beleza, então sabemos que para ângulos maiores que esse a luz do anel não escapa para o ar.

Mas como podemos relacionar isso à área de um circulo? Acompanha aqui comigo...

Passo 3

O anel está no fundo do rio de 10   m   de profundidade. Se aumentarmos mais o ângulo não há refração, então temos que estar a um distância de r do ael para que possamos ver a luz refletida por ele. Isso compreende a área de um circulo de raio r.

A = π r 2

O raio pode ser encontrado a partir de:

tan ⁡ 48,6 = r 10

r = 11,3   m

Então:

A = π r 2

A = 401   m 2

Resposta

A = 401   m 2

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