Enunciado

Um fio de arame de comprimento 2 l é dobrado ao meio, formando um ângulo de 60 ° , e é suspenso pelo vértice O , oscilando num plano vertical. Calcule o período τ de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.

Passo 1

Vamos começar determinando o momento de inércia do sistema em relação ao ponto O . Podemos tratar cada pedaço do arame como uma barra homogênea:

Nós conhecemos o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro:

I C = 1 12 m l 2

E podemos usar o teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento em relação a um eixo que passa pela extremidade:

I ' = I c + m l 2 4

I ' = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2

E como temos dois arames, o momento de inércia total do sistema é:

I = 2 I ' = 1 3 m l 2

Passo 2

Agora vamos pensar nas forças que agem sobre o sistema:

∑ τ = I θ ¨ = - m g sen ⁡ θ d

Vamos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ e substituir a expressão para o momento de inércia:

I θ ¨ + m g θ   d = 0

1 3 m l 2 θ ¨ + m g θ   d = 0

θ ¨ + 3 g l 2   d   θ = 0

Ainda falta encontrar a posição d do centro de massa.

Passo 3

Os dois arames têm o mesmo comprimento, e estão separados por um ângulo de 60 ° . Ou seja, eles formam um triângulo equilátero.

Vamos lembrar da fórmula para a altura desse triângulo:

E o centro de massa está na metade da altura desse triângulo, então sua distância até o ponto O é:

d = 1 2 l 3 2 = l 3 4

Vamos substituir isso na equação lá de cima:

θ ¨ + 3 g l 2   l 3 4   θ = 0

θ ¨ + 3 3 g 4 l θ = 0

Que é a equação de um oscilador com a seguinte frequência angular:

ω = 3 3 g 4 l

E o seguinte período:

τ = 2 π ω = 2 π 3 3 g 2 l = 4 π l 3 3 g

τ = 4 π 3   3 l g

Resposta

O período de pequenas oscilações em torno do equilíbrio é τ = 4 π 3   3 l g .

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