Enunciado

Um bloco cúbico de 10   c m de aresta e densidade 8   g / c m 3 está suspenso do teto por uma mola de constante elástica 40   N / m e comprimento relaxado de 0,5   m , e mergulhado dentro de um fluido viscoso de densidade 1,25   g / c m 3 . Na situação considerada, a resistência do fluido é proporcional à velocidade, com coeficiente de proporcionalidade ρ = 2   N . s / m . Inicialmente em equilíbrio, o bloco é deslocado de 1   c m para baixo e solto a partir do repouso. Com origem no teto e eixo z vertical orientado para baixo, determine a coordenada z da extremidade superior do bloco em função do tempo.

Passo 1

Temos um total de quatro forças atuando sobre o bloco: a força de atrito com um fluido, a força elástica da mola, o empuxo exercido pelo fluido e o peso do bloco.

∑ F = F a t + F e l + E + P

Vamos escrever expressões para cada uma dessas forças. A coordenada z dá a altura do bloco em relação ao teto:

F a t = - ρ z ˙

Onde ρ é a viscosidade do fluido.

F e l = - k z - z 0

Onde z 0 é o comprimento inicial da mola.

E = - ρ F g a 3

Onde ρ F é a densidade do fluido e a é comprimento da sua aresta.

P = m g = ρ B a 3 g

Onde ρ B é a densidade do bloco. Substituindo tudo na segunda lei de Newton, temos o seguinte resultado:

m z ¨ = - ρ z ˙ - k z - z 0 - ρ F g a 3 + ρ B a 3 g

Dividindo tudo por m = ρ B a 3 e reorganizando um pouco, ficamos com o seguinte resultado:

z ¨ + ρ m z ˙ + k m z = k m z 0 + g - ρ F ρ B g

A partir dessa equação, nós podemos definir a frequência natural:

ω 0 = k m = k ρ B a 3

ω 0 = 40 8 ≅ 2,23   s - 1

E o fator de amortecimento é:

γ = ρ m = ρ ρ B a 3

γ = 2 8 ≅ 0,25   s - 1

Passo 2

Beleza, voltando para a nossa equação:

z ¨ + γ z ˙ + ω 0 2 z = ω 0 2 z 0 + g - ρ F ρ B g

Vamos começar encontrando a solução da equação homogênea, ou seja:

z ¨ + γ z ˙ + ω 0 2 z = 0

Com os valores que encontramos para γ e ω 0 , no último passo, podemos ver que:

ω 0 > γ 2

Ou seja, o movimento é subamortecido. E a solução geral é:

z h t = e - γ 2 t a cos ⁡ ω t + b sen ⁡ ω t

E podemos definir a frequência ω usando uma fórmula:

ω 2 = ω 0 2 - γ 2 4 = 2,23 2 - 0,25 2 4 ≅ 2,23   s - 1

Então nossa solução homogênea é:

z h t = e - 0,125 t a cos ⁡ 2,23 t + b sen ⁡ 2,23 t

Passo 3

Agora vamos procurar a solução particular:

z ¨ + γ z ˙ + ω 0 2 z = ω 0 2 z 0 + g - ρ F ρ B g

Todos os termos do lado direito são constantes então vamos chutar uma solução constante:

z p = C

Substituindo na EDO, ficamos com o seguinte:

ω 0 2 C = ω 0 2 z 0 + g - ρ F ρ B g

C = g ω 0 2 1 - ρ F ρ B + z 0

Substituindo os valores numéricos:

C = 9,81 2,23 2 1 - 1,25 8 + 0,5

C ≅ 2,15   m

Então a solução geral é:

z t = z h t + z p t

z t = e - 0,125 t a cos ⁡ 2,23 t + b sen ⁡ 2,23 t + 2,15  

Agora falta impor as condições iniciais para encontrar as constantes a e b .

Passo 4

O bloco é deslocado de Δ z = 1   c m a partir do equilíbrio.

Já que encontramos uma solução particular constante z p = 2,15   m , podemos garantir que ela corresponde à situação de equilíbrio do sistema, então:

z 0 = 2,15 + 0,01 = 2,16   m

Vamos aplicar essa condição sobre a nossa solução geral:

z t = e - 0,125 t a cos ⁡ 2,23 t + b sen ⁡ 2,23 t + 2,15  

z 0 = e 0 a cos ⁡ 0 + b sen ⁡ 0 + 2,15 = 2,16

a + 2,15 = 2,16

a = 0,01   m

A segunda condição inicial nos diz que o bloco parte do repouso, então:

z ˙ 0 = 0

Vamos encontrar z ˙ t (lembre de aplicar a regra do produto):

z t = e - 0,125 t a cos ⁡ 2,23 t + b sen ⁡ 2,23 t + 2,15  

z ˙ t = - 0,125   z h 0 + e - 0,125 t 2,23 b cos ⁡ 2,23 t - a sen ⁡ 2,23 t

z ˙ 0 = - 0,125   0,01 + 2,23 b = 0

b = 0,01 0,056

Então:

z t = 0,01 e - 0,125 t cos ⁡ 2,23 t + 0,056 sen ⁡ 2,23 t + 2,15  

Resposta

A coordenada z é dada por z t = 0,01 e - 0,125 t cos ⁡ 2,23 t + 0,056 sen ⁡ 2,23 t + 2,15   .

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