Enunciado

Um fio de platina (densidade igual a 21,4   g / c m 3 ) tem 225   μ m de diâmetro e 0,450   m de comprimento. Uma das extremidades do fio está presa ao teto, e na outra extremidade amarramos um corpo de massa igual a 420   g , de modo que o fio fica em equilíbrio na vertical sob tensão. Quando um diapasão vibra com uma determinada frequência nas suas proximidades, o fio também começa a vibrar com a mesma frequência. a) Quais são as possíveis frequências do diapasão para que esse fenômeno ocorra? Suponha que a extremidade inferior do fio (à qual a massa está presa) esteja fixa e que a tensão no fio seja essencialmente constante ao longo do seu comprimento. b) Justifique as hipóteses feitas o item (a).

Passo 1

As frequências do diapasão devem ser as mesmas frequências do fio para que o fenômeno ocorra, ou seja, eles devem ficar em ressonância. Vamos então calcular as frequências do fio a partir da frequência fundamental. Como o fio está preso nas duas extremidades:

f 1 = v 2 L

A equação para a velocidade da onda no fio é:

v = F μ

Substituindo na primeira equação:

f 1 = 1 2 L F μ

f 1 = 1 2 L F m / L  

Colocando o L de fora para dentro da raiz:

f 1 = 1 2 F m L  

Passo 2

Como não temos a massa do fio, vamos usar a relação de densidade:

ρ = m V

E encontrar m .

Como o fio pode ser tratado como um cilindro, o volume é:

V = L A = L π r 2 = L π d 2 2

Substituindo na equação da densidade e isolando m :

m = V ρ = ρ L π d 2 2

m = 21,4   g / c m 3 45,0   c m π 225 × 10 - 4   c m 2 2

m = 0,383   g = 3,83 × 10 - 4   k g

Passo 3

A força de tensão na corda é exatamente a força peso do corpo, então:

F = M g

Substituindo na equação da frequência fundamental:

f 1 = 1 2 M g m L  

Passo 4

Colocando cada um dos valores dados:

f 1 = 1 2 ( 0,420   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 3,83 × 10 - 4   k g ) ( 0,450   m )   77,3   H z

Passo 5

b) As hipóteses que foram feitas são justificáveis para o caso em que a massa do corpo é muito maior que a massa do fio, porque assim, a tensão em qualquer ponto do fio é praticamente a mesma, já que toda a força se concentra no peso do bloco e não no peso da corda, e a vibração do fio não causa nenhuma força suficientemente grande sobre o bloco para movimentar o sistema inteiro, isso também se deve ao fato de que a massa do fio é muito menor que a do bloco. Para confirmarmos isso, basta fazermos a razão entre as duas massas:

m M ≈ 9 × 10 - 4

E vermos que o erro está só na quarta casa decimal, sendo que a nossa resposta só usa a primeira, então a aproximação é válida.

Resposta

a   77,3   H z

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