Enunciado

Uma firma deseja determinar o valor do torque causado pelo atrito em sua linha de pedras de amolar, a fim de poder torná-las energeticamente mais eficientes. Para isto, eles lhe pedem para testar o modelo campeão de vendas, que é basicamente uma pedra em forma de disco de 1,70 k g de massa e 8,00 c m de raio, que opera a 730 r e v / m i n . Quando a potência é desligada, você cronometra o tempo que a pedra leva para parar de girar e encontra o valor de 31,2 s . (a) Qual é a aceleração angular da pedra de amolar? (Suponha aceleração angular constante) (b) Qual é o torque exercido pelo atrito sobre a pedra de amolar?

Passo 1

a) Oláaaa, cê está bem?

Então, basicamente a gente um disco de raio R = 8   c m = 0,08   m e massa M = 1,7   k g . Ele gira em torno do eixo que passa pelo seu centro com rapidez angular de 730 r e v / m i n .

Vamos começar passando essa rapidez para r a d / s . Se a gente faz 730   revoluções por minuto, significa que a gente dá 730 voltas completas em 1 minuto. Uma volta completa é dada por 2 π   r a d , ou seja, 1   r e v = 2 π   r a d . E um minuto é dado por 60   s , então temos:

ω 0 = 730 r e v m i n = 730   2 π   r a d 60   s = 730 × 2 π 60   r a d / s

Belezinha. Aí ele dá para gente o tempo que esse disco leva para atingir ω = 0 , ou seja, parar:

Δ t = 31,2   s

E o que ele pede é a aceleração angular desse disco nesse movimento de desaceleração. Vamos ver como achar!

Passo 2

A aceleração angular α pode ser definida como:

α = Δ ω Δ t = ω - ω 0 Δ t

Como estamos considerando que a pedra de amolar (o nosso disco) vai parar no final, ω = 0 , logo:

α = - ω 0 Δ t

Substituindo os dados:

α = - 730 × 2 π 60   r a d / s 31.2 s

α = - 2.45 r a d s 2

O sinal de menos significa que a pedra está desacelerando.

Passo 3

b) O atrito é a única força sobre a pedra quando o motor é desligado. Então o torque realizado por ele vai ser o torque resultante sobre o disco. A segunda lei de Newton para a rotação dá essa expressão para o torque resultante sobre um objeto:

τ r e s = I α

Onde I é momento de inércia do disco, com relação ao eixo de rotação. Ele tem essa fórmulinha:

I = 1 2 M R 2

Onde M é a massa do disco e R o raio dele. Substituindo na expressão do torque:

τ r e s = I α

τ r e s = 1 2 M R 2 α

Esse α é a aceleração angular que a gente achou no item anterior. Então temos todos os dados. Bora substituir:

τ r e s = 1 2 1.70 k g 0.08 m 2 - 2.45 r a d s 2

τ r e s = - 0.0133   N ⋅ m

O torque fica negativo porque ele está no sentido da aceleração angular.

Resposta

α = - 2.45 r a d s 2

τ r e s = - 0.0133   N ⋅ m

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