Enunciado

O fluxo do campo gravitacional é definido de forma análoga à do campo elétrico,

Φ g = ∫ g → ⋅ d A →

Mostre que Φ g = - 4 π G m , onde m é a massa contida dentro da superfície.

Passo 1

Esse exercício foge um pouco do assunto do livro né? Mas a gente sabe desde criancinha que o campo elétrico tem uma estrutura muito parecida com o campo gravitacional, né? Vamos explorar um pouco disso nesse problema!

O fluxo do campo gravitacional é dado por

Φ g = ∫ g → ⋅ d A →

Você deve saber que g → aponta para o centro da Terra e é dado por

g = G m r 2

Considerando a direção e sentido, obtemos

g → = - G m r 2 r ^

Passo 2

Vamos considerar agora uma superfície esférica de raio r e fazer a integral de fluxo sobre essa esfera:

Φ g = ∫ - G m r 2 r ^ ⋅ r ^   d A = - G m r 2 ∫ d A = - G m r 2 ⋅ 4 π r 2

Portanto,

Φ g = - 4 π G m

Resposta

Demonstração.

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