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Um foguete de 150,0   k g que se afasta da Terra em linha reta está a uma velocidade de 3,70   k m / s quando o motor é desligado, 200   k m acima da superfície da Terra. (a) Desprezando a resistência do ar, determine a energia cinética do foguete quando está 1000   k m acima da superfície da Terra. (b) Qual é a altura máxima acima da superfície da Terra atingida pelo foguete?

Passo 1

Esses casos onde temos um “antes e depois” sugerem fortemente o uso da lei de conservação de energia:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Mas antes vamos lembrar que a questão fala apenas em distâncias até a “superfície da Terra”, e para usar nossas fórmulas, precisamos das distâncias até o centro da Terra. Vamos ajustar isso logo para não termos problemas depois:

r 1 = 200.10 3 + 6,37   .   10 6 = 6,57.10 6   m

r 2 = 1000.10 3 + 6,37   .   10 6 = 7,37.10 6   m

Passo 2

Agora vamos substituir as fórmulas na lei de conservação de energia para encontrar e energia cinética final K f :

m v 0 2 2 - G M T m r 1 = K f - G M T m r 2

Substituindo os valores:

( 150 ) 3,7.10 3 2 2 - 6,67.10 - 11 5,98.10 24 150 1 6,57.10 6 - 1 7,37.10 6 = K f

K f = 3,83.10 7   J

Pronto!

Passo 3

A letra (b) quer a altura máxima atingida pelo foguete. Vamos continuar usando a lei da conservação de energia.

Vamos comparar o ponto onde paramos, ou seja, distância r = 7,37.10 6   m , e energia cinética K = 3,83.10 7   , com o ponto onde a energia cinética é nula, e a distância é o que queremos descobrir.

K 2 + U 2 = K 3 + U 3

3,83.10 7 - G M T m 7,37.10 6 = - G M T m r

3,83.10 7 - 6,67.10 - 11 5,98.10 24 150 7,37.10 6 = - G M T m r

8,01.10 9 = 6,67.10 - 11 5,98.10 24 150 r

r = 6,67.10 - 11 5,98.10 24 150 8,01.10 9 = 7,46.10 6   m

Resolvido.

Resposta

(a) K f = 3,83.10 7   J

(b) r = 7,46.10 6   m

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