Enunciado

As massas e coordenadas de três esferas são as seguintes: 20   k g , x = 0,50   m , y = 1,0   m ; 40   k g , x = - 1,0   m , y = - 1,0   m ; 60   k g , x = 0   m , y =   - 0,50   m . Qual é o módulo da força gravitacional que as três esferas exercem sobre uma esfera de 20 kg localizada na origem?

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação em um plano cartesiano:

Não podemos simplesmente somar os módulos das forças, porque alguns componentes vão se cancelar com os outros.

Vamos começar calculando as distâncias de cada uma das esferas até a origem.

Passo 2

Vamos começar calculando as distâncias de cada esfera até a origem, usando o teorema de Pitágoras:

d 20 = 0,5 2 + 1,0 2 = 1,25   m

d 60 = 0 2 + - 0,5 2 = 0,5   m

d 40 = - 1,0 2 + - 1,0 2 = 2   m

Agora que temos as distâncias podemos calcular os módulos das forças, e depois usar um pouco de trigonometria para achar as componentes em cada direção ( x e y ).

Passo 3

A fórmula para a força gravitacional entre dois corpos é:

F g = G M m r 2

Portanto as forças entre a esfera da origem e cada uma das outras três:

F 20 = G 20 20 1,25 2 = 320 G

F 60 = G 20 60 0,5 2 = 4800 G

F 40 = G 20 40 2 2 = 400 G

Passo 4

Agora vamos decompor essas forças nas direções x e y , depois estaremos prontos para somá-las e terminar a questão. Em cada caso, é só multiplicar a distância da esfera à origem pelo cosseno do ângulo entre o eixo e o vetor.

Vamos lembrar que a força gravitacional é atrativa, e precisamos ajustar os sinais de acordo com isso (imagem fora de escala):

Decompondo a seta vermelha:

F x = 320 G   . 0,5 1,25 = 143 G  

F y = 320 G   . 1,0 1,25 = 286 G

Decompondo a seta azul:

F x = 400 G   . - 1,0 2 = - 283 G

F y = 400 G   . - 1,0 2 = - 283 G  

Decompondo a seta verde:

F x = 0  

F y = 4800 G   . - 0,5 0,5 = - 4800 G  

Passo 5

Agora vamos somar as componentes em cada direção:

∑ F x = 143 G - 283 G = - 140 G

∑ F y = 286 G - 283 G - 4800 G = - 4797 G

E o módulo da força resultante vai ser:

F = 140 G 2   + 4797 G 2 = 4,8.10 3   G = 3,2.10 - 7   N

Pronto!

Resposta

O módulo da força resultante é 3,2   .   10 - 7   N .

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