Enunciado

Um Foguete com muitos estágios. Suponha que o primeiro estágio de um foguete com dois estágios possua massa total de 12000   k g , sendo de 9000   k g a massa do combustível. A massa total do segundo estágio é igual a 1000   k g , sendo de 700   k g a massa do combustível. Suponha que a velocidade relativa v e x do material expelido seja constante e despreze qualquer efeito da gravidade. (O efeito da gravidade é pequeno durante o período da combustão, quando a taxa de consumo de combustível é elevada.) a) Suponha que a massa total do combustível transportado pelo foguete com dois estágios seja utilizada em um foguete com um único estágio com a mesma massa total de 13000   k g . Para um foguete partindo do repouso, qual seria, em termos de v e x , sua velocidade no momento em que o combustível termina? b) Para um foguete com dois estágios, qual seria sua velocidade no momento em que o combustível do primeiro estágio termina, sabendo que o primeiro estágio transporta o segundo até esse ponto? A seguir, essa velocidade torna-se a velocidade inicial do segundo estágio. Nesse ponto, o segundo estágio se separa do primeiro. c) Qual é a velocidade final do segundo estágio? d) Qual deve ser o valor de v e x para que o segundo estágio atinja uma velocidade final igual a 7,0   k m / s ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar (a) velocidade no momento em que o combustível termina, em termos da velocidade relativa v e x do material expelido, (b) a velocidade no momento em que o combustível do primeiro estágio termina, (c) a velocidade final do segundo estágio e (d) o valor de v e x para que o segundo estágio atinja uma velocidade final igual a 7,0   k m / s .

Então, resumidamente temos um problema de um foguete com vários estágios onde nos é perguntado as velocidades para cada caso especificado.

Para resolvermos vamos utilizar algumas relações a partir da conservação de momento para um foguete.

Bora lá!

Passo 2

a) Temos a seguinte relação para um foguete de um estágio apenas:

v - v 0 = v e x ⋅ ln ⁡ m 0 m

Onde v é a velocidade final do foguete, v 0 a velocidade inicial Como ele parte do repouso, temos que v 0 = 0 . Assim

v = v e x ⋅ ln ⁡ m 0 m

O enunciado indicou que o foguete inteiro tem massa m 0 = 13000   k g e 9700   k g é a massa de combustível. Assim, quando todo o combustível queimar, restará apenas

m = 13000   k g - 9700   k g

m = 3300   k g

Substituindo na equação, temos:

v = v e x ⋅ ln ⁡ 13000   k g 3300   k g

v = 1,37 ⋅ v e x

Passo 3

b) Para o primeiro estágio, podemos usar a mesma relação anterior, porém agora com a massa inicial m 0 = 13000   k g

Assim, a massa final será:

m = m 0 - 9000   k g

m = 4000   k g

Dessa forma, temos que:

v = v e x ⋅ ln ⁡ 13000   k g 4000   k g

v = 1,18 ⋅ v e x

Passo 4

c) Para o segundo estágio, temos que a velocidade inicial agora será a velocidade final do primeiro estágio, ou seja,

v 0 = 1,18 ⋅ v e x

E a massa inicial agora será

m 0 = 1000   k g

E a final

m = 1000   k g - 700   k g

m = 300   k g

Assim, a relação nos dá que:

v = v 0 + v e x ⋅ ln ⁡ m 0 m

Substituindo os dados, temos:

v = 1,18   v e x + v e x ⋅ ln ⁡ 1000   k g 300   k g

v = 1,18 ⋅ v e x + v e x ⋅ 1,20

v = 2,38 ⋅ v e x

Passo 5

d) Queremos que a velocidade final seja v = 7,00   k m / s . Usando a relação que obtemos na alternativa anterior, temos que:

v e x = v 2,38 = 7.00   k m / s 2,38

v e x = 2,94   k m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. 1,37 ⋅ v e x
  2. 1,18 ⋅ v e x
  3. 2,38 ⋅ v e x
  4. 2,94   k m / s
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