Enunciado

Use a Equação (9.20) para calcular o momento de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade.

Passo 1

Falaaa, aí!

A gente quer o momento de inércia de uma barra delgada de massa M , ou seja, a gente considera que ela só tem comprimento. E esse momento é em relação a um eixo perpendicular a barra, mas posicionado em sua extremidade. Algo assim:

Sendo que queremos I em relação a y .

Ele manda a gente usar a expressão 9.20 que é:

I = ∫ r 2 d m

O que a gente vai fazer é montar essa integral!

Passo 2

Primeiro, vamos achar quem é r .

Vamos pegar o eixo x ao longo da haste, com a origem na extremidade esquerda onde temos y . E considerar uma fatia fina na coordenada x e largura d x .

r é a distância entre nosso eixo e nossa fatia, então

r = x

Só falta achar d m .

Bora lá!

Passo 3

d m é massa dessa fatia.

Podemos achar a densidade linear ( ρ l i n e a r ) dessa barra dividindo a massa total pelo comprimento da barra. Fica

ρ l i n e a r = M L

Como a fatia tem comprimento d x , se a gente multiplicar esse comprimento pela densidade linear da barra, achamos a massa da fatia:

d m = M L d x

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Então a integral fica

I = ∫ r 2 d m

I = ∫ x 2 M L d x

Mas como no nosso sistema de coordenadas nossa barra começa em x = 0 e termina em x = L , ficamos

I = ∫ 0 L x 2 M L d x

Calculando, vamos tirar o que é constante da integral

I = M L ∫ 0 L x 2 d x

Usando a regrinha de integrar polinômios:

I = M L x 3 3 0 L

I = 1 3 M L 2

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

I = 1 3 M L 2

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