Enunciado

Uma pedra amarrada em uma corda se move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em função do tempo por

x t = R c o s ω t             y t = R s e n ω t

onde R e ω são constantes.

a) Mostre que a distância da pedra até a origem é constante e igual a R , ou seja, sua trajetória é uma circunferência de raio   R .

b) Mostre que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.

c) Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e possui módulo igual ω 2 .

d) Mostre que o módulo da velocidade da pedra é constante e igual ω R .

e) Combine os resultados das partes (c) e (d) para mostrar que a aceleração da pedra possui módulo constante igual a v 2 / R .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos uma pedra amarrada em uma corda se move no plano x y . Suas coordenadas são dadas em função do tempo por

x t = R c o s ω t             y t = R s e n ω t

onde R e ω são constantes.

A partir daí temos que mostrar que a distância da pedra até a origem é constante e igual a R , que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição, que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e possui módulo igual ω 2 , que o módulo da velocidade da pedra é constante e igual ω R e combinar os resultados das partes (c) e (d) para mostrar que a aceleração da pedra possui módulo constante igual a v 2 / R .

Muita coisa, não é?

Vamos por partes...

Passo 2

A distância r de um ponto, digamos a origem ( 0,0 ) até um ponto de coordenadas ( x , y ) é:

r = x 2 + y 2

Com x = R c o s ω t e y = R s e n ω t , vamos substituir ali em cima:

r = R c o s ω t 2 + R s e n ω t 2 = R 2 ( s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t )

Lembrando da identidade fundamental da trigonometria: s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 podemos simplificar a expressão para r ali de cima:

r = R 2 ⋅ 1 = R

Ou seja, a distância da pedra é uma circunferência de raio R .

Show?

Passo 3

O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em função do tempo. Vamos começar definindo o vetor posição:

r → = x t i → + y t j →

r → t = R c o s ω t   i → + R s e n ω t   j →

A derivada temporal disso vai ser:

d r → d t = v → = d d t R c o s ω t   i → + R s e n ω t   j →

v → = - R ω s e n ω t   i → +   R ω c o s ω t   j →

E juntando isso ao conceito de perpendicularidade de vetores, podemos mostrar o que o problema pede. A ideia aqui é usar o fato de que dois vetores são paralelos quando seu produto escalar é zero. Então vamos fazer o produto escalar entre v → e r → e ver se dá zero. Bora lá?

v → ⋅ r → = = - R ω s e n ω t   i → +   R ω c o s ω t   j → ⋅ R c o s ω t   i → + R s e n ω t   j →  

O produto escalar vai ser zero quando i → ⋅ j →   o u   j → ⋅ i → e vai ser um quando for entre vetores unitários iguais. Então teremos:

v → ⋅ r → = - R ω s e n ω t   . R c o s ω t + R ω c o s ω t   . R s e n ω t

Muliplicando e reorganizando os fatores teremos a seguinte expressão:

v → ⋅ r → = - R 2 ω s e n ω t   c o s ω t + R 2 ω s e n ω t   c o s ω t = 0

Ou seja, v → é perpendicular a r → .

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Já sabemos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade, não é mesmo? Então agora vamos, a partir da expressão pra velocidade que calculamos ali no passo anterior, achar a aceleração e mostrar que ela é oposta ao vetor posição (que também definimos no passo anterior). Vamos lá?

O vetor velocidade é:

v → = - R ω s e n ω t   i → +   R ω c o s ω t   j →

E a derivada dele é a aceleração:

a → = d v → d t = d d t - R ω s e n ω t   i → +   R ω c o s ω t   j →

a → = - R ω 2 c o s ω t   i → -   R ω 2 s e n ω t   j →

Vamos agora colocar em evidência ω 2 :

a → = ω 2 [ - R c o s ω t   i → -   R s e n ω t   j → ]

Mas agora compara lá no passo anterior com o vetor posição r → . O que temos dentro dos colchetes não é o oposto do vetor r → ? É sim! O que temos ali é - r → = - ( R c o s ω t   i → + R s e n ω t   j → ) , que é o oposto do vetor posição. Assim:

a → = - ω 2 r →

E seu módulo? Bom o módulo de um vetor qualquer é dado pela seguinte expressão:

b → = b x 2 + b y 2

Agora considerando o vetor aceleração que tem componentes a x = - R ω 2 c o s ω t   e a y = - R ω 2 s e n ω t , vamos aplicar isso:

a → = - R ω 2 s e n ω t 2 + - R ω 2 c o s ω t 2 = R ω 2

Assim o módulo do vetor aceleração é R ω 2 .

Estamos quase lá!

Passo 5

Já sabemos que o módulo de um vetor qualquer é dado pela seguinte expressão:

a → = a x 2 + a y 2

Agora considerando o vetor velocidade que tem componentes v x = - R ω s e n ω t   e v y = R ω c o s ω t , vamos aplicar isso ao módulo de um vetor:

v → = - R ω s e n ω t 2 + R ω c o s ω t 2

v → = R 2 ω 2 s e n 2 ω t + R 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t

Colocando o fator R ω em evidência e aqui vou usar a identidade trigonométrica (que já usei no passo 1 ):

v → = R 2 ω 2 s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t = R 2 ω 2

v → = R ω

Então aqui mostramos que o módulo do vetor velocidade é constante e vale R ω .

Bora continuar!

Passo 6

Da parte c ) temos a = R ω 2 e da parte d ) temos v = R ω . Assim:

ω = v R

E substituindo na aceleração:

a = R . v R 2 = v 2 R

Certo? Vamos pra próxima questão?

Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a ) r = R c o s ω t 2 + R s e n ω t 2 = R

b ) v → ⋅ r → = - R 2 ω s e n ω t   c o s ω t + R 2 ω s e n ω t   c o s ω t = 0

c ) a → = - ω 2 r →

  | a → | = R ω 2

d )   v → = R 2 ω 2 ( s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t ) = R 2 ω 2 = R ω

e )   a = R . v R 2 = v 2 R

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