Enunciado

Um foguete de fogos de artifício é disparado verticalmente de baixo para cima. Na sua altura máxima de 80,0   m , ele explode e se parte em dois pedaços, um com massa de 1,40   k g e o outro com massa de 0,28   k g . Na explosão, 860   J de energia química é convertida em energia cinética dos dois fragmentos. a) Qual é a velocidade escalar de cada fragmento logo após a explosão? b) É observado que os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo. A que distância um do outro eles caem no solo? Suponha que o solo é plano e a resistência do ar é desprezível.

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos dá uma situação de um foguete que explode em quando atinge sua altura máxima liberando dois fragmentos de massas diferentes que se deslocam até o chão com velocidades distintas.

Vamos usar conservação de momento e conservação de energia para descobrirmos quais as velocidades dos fragmentos e para encontrarmos as distâncias em que se encontram os fragmentos iremos usar as funções horárias do movimento.

Vamos lá!

Passo 2

a) Incialmente, vamos definir o fragmento com mais massa de fragmento A e o de menor massa de fragmento B . Assim, temos por conservação de momento no instante que explode e no instante seguinte que:

P i = P f

m f o g u e t e ⋅ v f o g u e t e = m a ⋅ v a + m b ⋅ v b

Onde m f o g u e t e e v f o g u e t e   são a massa e a velocidade do foguete, respectivamente, e m a ,     v a e m b ,     v b são as massas e velocidades de cada fragmento.

Temos que no instante que o foguete explode o mesmo está em sua altura máxima, portanto sua velocidade nesse ponto é igual a zero. Assim, v f o g u e t e = 0 . Então:

0 = m a ⋅ v a + m b ⋅ v b

v a = - m b ⋅ v b m a

Esse resultado até o momento nos diz que os dois fragmentos estão indo em sentidos opostos. Como também nos é dito que ambas chegam ao solo ao mesmo tempo, podemos afirmar que após a explosão um fragmento saí na direção positiva de x e a outra na direção negativa, sem ter componentes da velocidade na direção y .

Usando a conservação de energia mecânica agora, temos que a energia total após o sistema deve ser:

E = 1 2 ⋅ m a ⋅ v a 2 + 1 2 �� m b ⋅ v b 2

E substituindo os valores, obtemos:

E = 860   J

Agora substituindo nosso valor encontrado para a velocidade de A para obtermos v b :

1 2 ⋅ m a ⋅ - m b ⋅ v b m a 2 + 1 2 ⋅ m b ⋅ v b 2 = 860   J

1 2 ⋅ m b ⋅ v b 2 1 + m b m a = 860   J

E encontramos:

v b = 71 . 6   m / s

Substituindo em v a iremos obter que:

v a = - m b ⋅ v b m a

v a = - 14.3   m / s

Passo 3

b) Para descobrirmos a distância em x que os fragmentos estão precisamos encontrar o tempo de queda até o solo. Sabemos que ambos chegam ao mesmo tempo, logo não precisamos encontrar dois tempos diferentes.

Podemos utilizar a função horária do movimento para uma queda livre. Vamos orientar nosso eixo positivo de y para baixo e nosso eixo positivo de x para a direita.

Sabemos que a velocidade em y logo após a explosão é zero e que y - y 0 = 80   m . Assim, nossa equação fica:

y - y 0 = v 0 y ⋅ t + 1 2 ⋅ g ⋅ t 2

t = 2 ⋅ y - y 0 g

t = 2 ⋅ 80   m 9.8 m s

t = 4.04   s

Temos que a velocidade em x continuará constante e como não há forças agindo nessa direção, temos que a função horaria do deslocamento pode ser dado por:

x a = v a ⋅ t = - 14.3 m / s ⋅   4.04   s = 57.8   m

x b = v b ⋅ t = 71.6 m / s ⋅   4.04   s = 289.1   m

E a distância entre os fragmentos será:

Δ x = x b - x a = 346.9   m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. v a = - 14.3 m / s   e   v b = 71.6   m / s
  2. Δ x = 346.9   m
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