Enunciado

Um foguete de teste é lançado por aceleração ao longo de uma inclinação de 200,0   m , a 125   m / s 2 , partindo do repouso no ponto A (Figura 3.45 ). A inclinação se ergue a 35 ° sobre a horizontal e, no instante em que o foguete parte dela, os motores se apagam e ele fica sujeito somente à gravidade (a resistência ao ar pode ser desprezada). Determine

a) a altura máxima sobre o solo atingida pelo foguete e

b) o maior alcance horizontal do foguete passando-se o ponto A .

Passo 1

Fala, querido!

Vamos entender o que está acontecendo? O foguete é lançado por essa plataforma inclinada com aceleração a = 125   m / s 2 . Aí depois que ele sai dessa plataforma, essa aceleração para de atuar.

Em outras palavras, até ele sair da plataforma temos um movimento uniformemente variado na direção da plataforma e depois a gente tem um lançamento de projétil. Ou seja, a velocidade final do MRUV vai ser a velocidade inicial do projetil.

Vamos achar essa v f para a plataforma usando Torricelli, sabendo que a velocidade inicial para essa parte do movimento é nula ( v 0 = 0 ).

v f 2 = v 0 2 + 2 a s - s 0

Substituindo os valores:

v f = 2 ⋅ 125 ⋅ 200 = 223,6 m / s

E essa vai ser o módulo da velocidade inicial (fim da rampa) que vamos usar a seguir. Repara que ela vai estar inclinada de θ = 35 ° em relação a horizontal como a rampa.

Agora nosso problema vira um lançamento de projétil. Ele pede a altura e o alcance máximo. Vamos achar essas grandezas. Atenção que ele pede em relação ao solo (para a altura) e em relação a A (para o alcance).

Vamos considerar y +   para cima e origem do referencial em A , porque ele quer as grandezas em relação a esse ponto (que está no solo).

Vamos lá!

Passo 2

  1. Para determinar a altura máxima precisamos determinar a equação de movimento na vertical. A componente vertical da velocidade inicial é:
  2. v 0 y = v f s e n 35 = 223,6 ⋅ s e n 35

    v 0 y = 128,3 m / s

    E usando a equação de movimento

    v 2 = v 0 2 + 2 a y ( y m á x - y 0 )

    Lembrando que na altura máxima a velocidade é zero, pois saindo da plataforma, ele para de acelerar e vai perdendo velocidade:

    0 = v 0 2 + 2 a y y m á x - y 0

    A altura inicial é a altura da rampa (onde começa o movimento de projeto). Podemos acha-la, assim:

    y 0 = 200 s e n 35 = 114,7 m

    Voltando para a nossa equação do movimento,

    0 = 128,3 2 - 2 g y m á x - y 0

    y m á x - y 0 = 128,2 2 2.9,8

    y m á x = 128,2 2 2.9,8 + y 0

    y m á x = 114,7 + 839,8 = 954,5   m

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  3. Para determinar o alcance, precisamos determinar o tempo que o foguete permanece no ar. Da equação vertical temos:

y - y 0 = v o y t + a t 2 2

Temos a velocidade inicial. A posição inicial já vimos que é y 0 = 114,7 m . A posição final é o solo, então y = 0 . A aceleração é a da gravidade a = - 9,8   m / s .

Substituindo os valores teremos uma equação de segunda ordem em t :

0 - 114,7 = 128,3 t - 9,8 t 2 2

4,9 t 2 - 128,3 t - 114,7 = 0

Usando Bhaskara temos as raízes:

t = - - 128,3 ± - 128,3 2 - 4 4,9 - 114,7 2 4,9

E como só a raiz positiva nos interessa:

t = 27,1   s

Show?

Passo 3

Agora que temos o tempo, vamos substituir na expressão pra posição horizontal. A componente horizontal da velocidade inicial é:

v 0 x = 223,6 c o s 35 = 183,2 m / s

e lembrando que na horizontal não temos mais aceleração, então é um MRU. A posição inicial é quando a acaba a rampa. Em relação a x , tendo A como referência zero:

x 0 = 200 c o s 35 = 163,8 m

Assim a posição x em t = 27,1 s é:

x = x 0 + v 0 x t = 163,8 + 183,2 ⋅ 27,1 = 5128,52   m

Obs: Ficamos beeem diferentes do gabarito. Mas isso ocorre porque essa edição tem um problema de tradução. A aceleração do foguete na rampa é dada como 125   m / s 2 e o gabarito considera como 1,25   m / s 2 .

Se você seguir esse passo a passo, apenas mudando a aceleração inicial do foguete para 1,25   m / s , cê chega no gabarito do livro, tá bem?

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a )   954,5   m

b )   5128,52   m

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