Enunciado

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Uma fonte de 100 W irradia luz de comprimento de onda 600 nm uniformemente em todas as direções. Um olho que foi adaptado ao escuro tem uma pupila de 7 mm de diâmetro e pode detectar a luz se pelo menos 20 fótons por segundo entrar na pupila. A que distância da fonte a luz pode ser detectada nessas condições bastante extremas?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos relacionar o número de fótons por segundo com a área de recepção desses fótons.

Você concorda comigo que quanto maior a área de detecção, maior a quantidade de fótons detectados? Então, existe uma relação de proporcionalidade aí! Podemos fazer esssa regra de 3:

N o - - - A o

N e - - - A e

Onde N o é o número de fótons por segundo entrando no olho, A o = π r 2 é a área da pupila (que é a área de detecção dos fótons), N e é o número de fótons por segundo emitidos pela fonte e A e = 4 π R 2 é a área da esfera que representa a área de emissão dessa fonte, nesse caso a uma distância R entre a fonte e o receptor.

N o - - - π r 2

N e - - - 4 π R 2

4 π R 2 N o = π r 2 N e

R 2 = π r 2 N e 4 π N o

R 2 = r 2 N e 4 N o

R = r 2 4 N e N o  

R = r 2 N e N o  

Sabemos r = 7 2 m m = 3,5 ∙ 10 - 3   m , N o = 20   s - 1 (que é o número de fótons por segundo que o olho detecta). Então, falta N e !

Passo 2

Para isso, vamos brincar com a potência da fonte:

P = E ∆ t

Como queremos algo por segundo ∆ t = 1   s . Além disso, a energia total que a fonte emite é a soma das energias de cada fóton nela, como são N e fótons:

E = N e E e

Podemos achar E e pela relação de Einstein:

E e = h c λ = 1240   e V ∙ n m 600   n m

E e = 2,07   e V

Passando para joules, só vamos multiplicar por 1,602 ∙ 10 - 19 :

E e = 2,07 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19   J

E e = 3,31614 ∙ 10 - 19   J

Assim, E = N e ∙ 3,31614 ∙ 10 - 19 . E, substituindo isso na fórmula da potência:

P = N e ∙ 3,31614 ∙ 10 - 19

Como P = 100   W :

100 = N e ∙ 3,31614 ∙ 10 - 19

N e = 3,02 ∙ 10 20   s - 1

Passo 3

Opa, agora, só falta substituir esse valor na equação para R :

R = 3,5 ∙ 10 - 3 2 3,02 ∙ 10 20 20  

R = 7000   k m

Resposta

R = 7000   k m

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