Enunciado

Uma fonte produz uma onda senoidal de frequência angular 3000 r a d / s e amplitude 12 n m em um tubo de ar. O raio interno do tubo é 2 c m . ( a ) Qual é a taxa média com a qual a energia (soma das energias cinética e potencial) é transportada para a extremidade oposta ao tubo? ( b ) Se, ao mesmo tempo, uma onda igual se propaga em um tubo vizinho igual, qual é a taxa média total com a qual a energia é transportada pelas ondas para a extremidade oposta dos tubos? Se, em vez disso, as duas ondas são produzidas simultaneamente no mesmo tubo, qual é a taxa média total com que a energia é transportada quando a diferença de fase entre as ondas é c 0 , d 0,4 π r a d e e π r a d ?

Passo 1

A taxa de energia transmitida não é nada mais que a potência média da onda:

d E d t = 1 2 μ v ω 2 A 2

Lembrando que A nesse caso é a amplitude da onda. Reescrevendo a expressão acima em termos das quantidades fornecidas no problema temos a seguinte expressão:

d E d t = 1 2 ρ A v ω 2 s m 2

Então é só substituir os valores ( ρ = 1,21 k g / m 3 , A = π r 2 ):

d E d t = 1 2 1,21 . π . 0,02 2 . 343 . 3000 2 . 12.10 - 9 2 = 3,4.10 - 10 W

Passo 2

Agora temos a mesma configuração de ondas, mas em um tubo ao lado, separado. Então não há a superposição de ondas. Quando temos uma situação assim, a taxa com que a energia total é transportada das duas ondas será apenas a soma das duas taxas. Como temos a mesma configuração, a taxa agora vai ser o dobro da que encontramos no passo anterior:

d E d t = 2 . 3,4.10 - 10 = 6,8 . 10 - 10 W

Passo 3

Temos agora uma sobreposição de ondas com diferença de fase Δ ϕ = 0 , isso significa que a amplitude resultante será:

A r e s = 2 s m . c o s Δ ϕ 2 = 2 s m

E pela equação para a taxa, temos que uma duplicação na amplitude leva a uma potência média quadruplicada! Assim, a taxa será:

d E d t = 1 2 ρ A v ω 2 2 s m 2 = 4 . 1 2 ρ A v ω 2 s m 2 = 4 . 3,4.10 - 10 = 13,6.10 - 10 W  

Passo 4

Para uma diferença de fase igual a Δ ϕ = 0,4 π , a amplitude fica:

A r e s = 2 s m . c o s Δ ϕ 2 = 2 s m cos ⁡ 0,2 π = 2 s m cos ⁡ 36 ° = 1,61 s m

Substituindo na relação para a taxa média de energia transportada temos:

d E d t = 1 2 ρ A v ω 2 1,61 s m 2 = 2,61 .   1 2 ρ A v ω 2 s m 2 = 2,61 . 3,4.10 - 10

d E d t = 8,9.10 - 10 W

Passo 5

Agora finalmente para a última configuração de diferença de fase temos Δ ϕ = π , assim a amplitude fica:

A r e s = 2 s m . c o s Δ ϕ 2 = 2 . s m cos ⁡ π 2 = 0

E a taxa de energia transportada é nula:

d E d t = 1 2 ρ A v ω 2 s m 2 = 0 W

Resposta

a 3,4.10 - 10 W

b 6,8.10 - 10 W

c 13,6.10 - 10 W  

d 8,9.10 - 10 W

e 0

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