Enunciado

Uma força F → = 3,00   N i ^ + 7,00   N k ^ age sobre um objeto de 2,00   k g que se move de uma posição inicial d → i = 3,00   m i ^ - 2,00   m j ^ + 5,00   m k ^ para uma posição final d → f = - 5,00   m i ^ + 4,00   m j ^ + 7,00   m k ^ em 4,00   s . Determine (a) o trabalho realizado pela força sobre o objeto no intervalo de 4,00   s , (b) a potência média desenvolvida pela força nesse intervalo e (c) o ângulo entre os vetores d → i e d → f .

Passo 1

Primeiro, como o enunciado nos dá o vetor força CONSTANTE e os vetores posição em função dos unitários, então podemos calcular o trabalho fazendo a soma da combinação das componentes:

W = F → ∙ d → = F x d x + F y d y + F z d z       e q . 1

Além disso, devemos nos lembrar que a potência pode ser calculada em função do trabalho:

P m = W t       e q . 2

E que podemos determinar o ângulo entre dois vetores, aplicando a definição de produto escalar e isolando o cosseno entre os ângulos:

A   B cos ⁡ ϕ = A x B x + A y B y + A z B z

cos ⁡ ϕ = A x B x + A y B y + A z B z A B       e q . 3

Passo 2

Primeiro, para determinar o trabalho que a força F → realizou em 4   s , devemos determinar o deslocamento total. Para tanto, devemos calcular a variação do vetor posição:

d → = d f → - d i → = - 5 i ^ + 4 j ^ + 7 k ^ - 3 i ^ - 2 j ^ + 5 k ^

d → = - 5 - 3 i ^ + 4 + 2 j ^ + 7 - 5 k ^

d → = - 8 i ^ + 6 j ^ + 2 k ^   m

Passo 3

Com o deslocamento total em mãos, podemos aplicar a definição de trabalho de uma força constante explicitado na e q . 1 :

W = F → ∙ d → = 3 i ^ + 0 j ^ + 7 k ^ ∙ - 8 i ^ + 6 j ^ + 2 k ^

W = 3 × - 8 + 0 × 6 + 7 × 2 = - 24 + 0 + 14

W = - 10   J

Tudo bem o trabalho ser negativo! Isso significa que a força está retirando energia deste objeto :)

Passo 4

Com o valor do trabalho calculado, podemos determinar a potência média usando a e q . 2 :

P m = W t = - 10 4 = - 2,5   W

Obs: A letra ao lado do valor da potência representa a unidade W a t t , não representa o trabalho.

Passo 5

Para determinar o ângulo entre d i → e d f → usaremos a e q . 3 . Para tanto, vamos iniciar calculando o módulo de cada vetor:

d i = 3 2 + - 2 2 + 5 2 = 6,16   m

d f = - 5 2 + 4 2 + 7 2 = 9,49   m

Assim, substituindo na e q . 3 :

cos ⁡ ϕ = 3 × - 5 + - 2 × 4 + 5 × 7 6,16 × 9,49 = 0,205

Por fim, isolando ϕ :

ϕ = cos - 1 ⁡ ( 0,205 ) = 78,2 °

Resposta

  1. W = - 10   J ;
  2. P m = - 2,5   W ;
  3. ϕ = 78,2 ° .
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