Enunciado

O petróleo bruto tem uma viscosidade de cerca de 0,800 Pa⋅s à temperatura normal. Você é o engenheiro-chefe de projeto responsável pela construção de um oleoduto horizontal de 50,0 km que conecta um campo de petróleo a um terminal de petroleiro. O oleoduto deve fornecer óleo no terminal a uma taxa de 500 L/s e o fluxo através do oleoduto deve ser laminar. Supondo que a densidade do petróleo bruto seja de 700 kg/m3, estime o diâmetro do oleoduto que deve ser usado.

Passo 1

E aí, querido? Como cê tá? Então, ele quer que a gente dimensione um tubo, certo? Queremos o diâmetro desse tubo. Mas repara que ele dá um dado mais diferentão, a viscosidade do petróleo. E ele diz que o fluxo precisa ser laminar.

Cara, quando ele pede a dimensão de um tubo, fala de viscosidade e fluxo em regime laminar, é uma dica para você usar o coeficiente de Reynolds. Por que? Porque é esse cara que diz se seu fluxo é laminar.

Vamos ver como usar essa cara!

Ele tem essa fórmulinha:

R e = ρ v D η

Onde

v = velocidade média do fluido

D = o diâmetro para o fluxo no tubo

η = viscosidade dinâmica do fluido

ρ =   densidade do fluido

Para o escoamento ser laminar, temos que ter R e < 2000 .

Vamos então usar essa fórmulinha de Reynolds para achar D .

Passo 2

Cara, a gente tem a vazão de petróleo dada pelo enunciado

Q = 500   L / s  

Mas a fórmula de R e usa a velocidade do fluxo, então vamos usar a defição de Q , para achar uma expressão para v , que use Q

Q = v A

Como o tubo em seção circular

Q = v π D 2 4

v = 4 Q π D 2

Substituindo isso na expressão de R e :

R e = ρ v D η

R e = ρ 4 Q π D 2 D η

R e = 4 Q ρ π D η

Passo 3

Queremos o diâmetro lembra? Vamos isolar esse cara:

D = 4 Q ρ π   R e   η

Percebe que o enunciado deu a viscosidade e deu a densidade,

η = 0,800   P a ⋅ s  

ρ = 700   k g / m 3

Mas a gente não tem R e . Só sabemos que ele precisa ser menor que 2000 . Então, cara, nesse tipo de questão, você precisa chutar um valor de R e , e depois ver se ele faz sentido, tá? Vamos chutar 1000 , por exemplo, porque é um valor menor que 2000 .

Substituindo essas coisas na fórmulinha do diâmetro

D = 4 700 k g m 3 0.5 m 3 s π 0.8 P a ⋅ s 1000 = 0 , 557   m

Passo 4

Agora a gente precisa ver se esse diâmetro faz sentido. Como? Cara, a gente precisa ver se a pressão gerada nesse tubo não é absurdamente grande, porque isso inviabiliza a construção do tubo, porque aí ele teria que ser feito de um material super resistente, saca?

E como a gente verifica essa pressão? Aí é que entra a lei de Poiseuille. Ela vai relacionar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo e o diâmetro descoberto no passo anterior.

Vamos lembrar que o diâmetro é o dobro do raio. Sendo assim, D = 2 r . Aí a fórmulinha dessa lei é

∆ P = 8 η l π r 4 Q

Substituindo os valores já adquiridos e fornecidos pela questão encontraremos ∆ P :

∆ P = 8 0.8 P a ⋅ s 50 k m π 0 , 557   m 2 4 ( 0.5 m 3 / s )

∆ P = 8 0.8 50 000 π 0 , 557 2 4 ( 0.5 )

= 8 . 5 × 10 6 P a = 8 4 . 0   a t m

Opa, temos um problema! Essa pressão é muito grande para o tubo. Ela é 84 vezes a pressão atmosférica. Isso é algo muito alto.

Passo 5

Poxa, e agora? Cara, o que a gente pode fazer é aumentar o raio do tubo. Lembra que a gente quer dimensionar ele? Então podemos chutar um valor um pouco maior para ele também.

Vê pela lei de Poiseuille que se o raio aumenta, a diferença de pressão diminui. Mas a gente tem que ter cuidado para não aumentar o raio demais, e fazer nosso R e ficar acima de 2000 . Temos o raio:

r = D 2 = 0 , 557 2 = 0.2785   m

Vamos aumentar ele só um pouco, para r = 0,5   m , deixando nosso diâmetro em 1 m . Agroa vamos testar a pressão no tubo:

∆ P = 8 η l π r 4 Q

∆ P = 8 0.8 P a ⋅ s 50 k m π 0.5 m 4 ( 0.5 m 3 / s )

= 8.15 × 10 5 P a = 8.04   a t m

Aí já temos uma pressão 8 vezes maior que a atmosférica. Ela é bem mais aceitável do que a outra que era 84 vezes a atmosférica. Então vamos ficar com r = 0,5   m → D = 1   m .

Passo 6

Conferindo esse diâmetro no número de Reynolds:

R e = ρ v D η

Substituindo nossos dados e D = 1   m , lembrando que v = Q π D 2 4

R e = 4 Q ρ π D η

R e = 4 0.5 700 π 1 0.8

R e = 557

Continua menor que 2000 , então ainda temos um fluxo laminar. Logo, podemos usar no nosso projeto do tubo o diâmetro de 1   m mesmo.

Resposta

D = 1   m

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