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Uma força atuando sobre uma partícula de 2,0 kg do plano xy, nas coordenadas (x, y), é dada por F → = - b / r 3 x i ^ + y j ^ , onde b é uma constante positiva e r é a distância da partícula à origem. (a) Mostre que a magnitude da força é inversamente proporcional a r 2 e que sua orientação é antiparalela (oposta) ao raio vetor r → = x i ^ + y j ^ . (b) Se b = 3,0   N m 2 , encontre o trabalho realizado por esta força enquanto a partícula se move de (2,0 m; 0,0 m) até (5,0 m; 0,0 m) em um caminho reto. (c) Encontre o trabalho realizado pela força sobre a partícula quando esta completa uma volta em um círculo de 7,0 m de raio centrado na origem.

Passo 1

Letra (a)

Nosso vetor é:

F → = - b / r 3 x i ^ + y j ^

F → = - b r 3 x   i ^ - b r 3 y   j ^

A componente x dele é o termo multiplicado por i ^ :

F x = - b r 3 x  

E a componente y é o termo multiplicado por j ^ :

F y = - b r 3 y  

Para achar a magnitude do vetor força como ele pede, a gente tira o módulo do vetor:

F = F x 2 + F y 2

F = - b r 3 x 2 + - b r 3 y 2

F = b r 3 x 2 + y 2

Passo 2

Só que r é a distância de um ponto qualquer x , y até a origem. Olha nessa figura:

Usando Pitagoras, podemos escrever essa distância como r = x 2 + y 2 . Substituindo isso no módulo de F :

F = b r 3 x 2 + y 2

F = b r 3 ∙ r

F = b r 2

Isso mostra que a magnitude da força é inversamente proporcional a r 2 .

Passo 3

Para ver que F → é oposta ao vetor r → = x i ^ + y j ^ (que é o vetor posição/raio) podemos pegar a definição de F → :

F → = - b / r 3 x i ^ + y j ^

Percebe que aparece esse termo x i ^ + y j ^ que é o próprio vetor posição r → . Então vamos substituir:

F → = - b r 3 r →

Essa expressão mostra que as componentes de F → são proporcionais a r → . Ou seja, que F → é paralela a r → .

E percebe também que tem um sinal de menos ali. Isso nos diz que que as componentes de F → são têm sinal inverso às componentes de r → . Ou seja, a força é na verdade antiparalela ao vetor r → , que é o mesmo que ser oposta ao vetor posição.

Passo 4

Letra (b)

Percebe que se a partícula saiu de 2 , 0 e foi para 5,0 só houve movimento no eixo x . Então a gente pode usar a expressão para trabalho unidimensional com força variável (já que nossa força depende de x e y ).

Vamos calcular o trabalho realizado apenas na direção x , porque só há movimento nesse eixo, e assim só há trabalho nesse eixo. A fórmula é:

W = ∫ x 1 x 2 F x d x

O ponto inicial é x = 2 e o ponto final é x 1 = 5 . Vamos substituir isso:

W = ∫ 2 5 F x d x

A componente x da nossa força F → é:

F x = - b r 3 x = - b x 2 + y 2 3 x

Como nosso movimento é somente horizontal, y = 0 :

F x = - b x 2 + 0 3 x = - b x 2

Substituindo isso na nossa integral:

W = ∫ 2 5 F x d x

W = ∫ 2 5 - b x 2 d x

Passo 5

Aí agora é calcular essa integral:

W = - b ∫ 2 5 1 x 2 d x

W = - b - 1 x 2 5

W = - 3 - 1 5 + 1 2

W = - 0,90   J

Passo 6

Letra (c)

Queremos o trabalho realizado se a trajetória for circular. Agora pensa comigo: vimos que o vetor posição é sempre antiparalelo à força. Esse é o vetor posição de um ponto genérico:

Ou seja, a força aponta sempre para origem. So nosso círculo está centrado na origem, a força aponta pra o centro do círculos sempre:

Se a força está sempre apontando para o centro do círculo, ela é sempre perpendicular a trajetória da partícula.

Se a força é sempre perpendicular ao movimento da partícula, ela nunca está na direção desse movimento.

Eeee se o movimento e a força nunca estão na mesma direção, não há trabalho. Logo para esse caso,

W = 0

Resposta

Letra (a): ver solução

Letra (b): W = - 0,90   J

Letra (c): W = 0

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