Enunciado

Na Fig. 7-47a, uma força de 2,0   N , que faz um ângulo θ para baixo e para a direita com a horizontal, é aplicada a um bloco de 4,0   k g enquanto o bloco desliza 1,0   m para a dieita em um piso horizontal sem atrito. Escreva uma expressão para a velocidade v f do bloco após ser percorrida essa distância, para uma velocidade inicial de (a) 0 e (b) 1,0   m / s para a direita. (c) A situação da Fig.7-47b é semelhante à do item (b), pois o bloco está inicialmente se deslocando para a direita com uma velocidade de 1,0   m / s , mas agora a força de 2,0   N está dirigida para baixo e para a esquerda. Escreva uma expressão para a velocidade v f do bloco após ser percorrida uma distância de 1,0   m . (d) Plote as três expressões de v f em função do ângulo θ , de θ = 0 a θ = 90 ° . Interprete os gráficos.

Passo 1

Devemos perceber que a únida força que atua na direção do deslocamento é uma componente da força F → . Assim, aplicando a segunda lei de Newton ao eixo do deslocamento:

F cos ⁡ θ = m a

Então, a aceleração do corpo é:

a = F cos ⁡ θ m

Passo 2

Como a aceleração é constante, então podemos usar a famosa equação de Torricelli para determinar a velocidade:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ x

Considerando v 0 = 0 :

v f = 2   F cos ⁡ θ m ∆ x

Substituindo os valores dados:

v f = 2 2 cos ⁡ θ 4 1 = cos ⁡ θ

v f a = cos ⁡ θ

Passo 3

Agora, de maneira análoga para v 0 = 1   m / s :

v f = v 0 2 + 2 F cos ⁡ θ m ∆ x

Substituindo os valores conhecidos:

v f = 1 2 + 2 2 cos ⁡ θ 4 1 = 1 + cos ⁡ θ

v f b = 1 + cos ⁡ θ

Passo 4

Para a situação que o bloco está se movimentando com velocidade v 0 = 1   m / s para direita e o corpo está sendo acelerado para esquerda, o que muda é o sentido da aceleração, então:

v f c = v 0 2 - 2 F cos ⁡ θ m ∆ x

Substituindo os valores:

v f c = 1 2 - 2 2 cos ⁡ θ 4 1

v f c = 1 - cos ⁡ θ

Passo 5

Vamos usar uma ferramenta para desenhar o gráfico das três situações, porém, o que devemos ter em mente:

Para o primeiro caso ( v f = cos ⁡ θ ): O valor do cosseno máximo ocorre em θ = 0 e, portanto, a velocidade máxima da corpo será v f = 1   m / s . Porém, a medida que o ângulo cresce, v f diminui até zerar em θ = 90 ° .

Para o segundo caso ( v f = 1 + cos ⁡ θ ): O valor máximo da velocidade também ocorrerá quando θ = 0 , pois o cosseno é máximo. A velocidade máxima será v f = 2   m / s . A medida que o ângulo cresce, a velocidade diminui, até chegar em v f = 1   m / s quando o θ = 90 ° .

Para o terceiro caso ( v f = 1 - cos ⁡ θ ): Inicialmente, quando θ = 0 ° , a velocidade é nula v f = 0 , a medida que θ for crescendo, a velocidade atinge seu valor máximo em θ = 90 ° , quando v f = 1   m / s .

O gráfico vermelho representa o primeiro caso; O gráfico amarelo representa o segundo caso; O gráfico azul representa o terceiro caso.

Resposta

  1. v f a = cos ⁡ θ ;
  2. v f b = 1 + cos ⁡ θ ;
  3. v f c = 1 - cos ⁡ θ .
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