Enunciado

Uma força horizontal de magnitude F 0 causa uma aceleração de magnitude 3,0   m / s 2 quando atuando sobre um objeto de massa m que desliza sobre uma superfície sem atrito. Encontre a magnitude da aceleração do mesmo objeto nas circunstâncias mostradas nas Figuras 4-35a e 4-35b.

Passo 1

Olá, querido! Tá bem? Então, o que ele quer é a magnitude da aceleração resultante em cada caso desse. E a aceleração resultante a é a que aparece na segunda lei de Newton:

F r e s = m a

a = F r e s m

Onde F r e s é a força resultante sobre o objeto e m é a massa do objeto. Então a gente precisa achar para cada caso apresentado é a força resultante F r e s sobre o bloco. Então conseguimos achar a .

Mas percebe que as forças atuando nas duas figuras estão em função de F 0 . Não temos uma expressão para F 0 . Só que podemos achar uma expressão para ela!

Como? Usando a segunda lei de Newron para o caso onde temos apenas a força F 0 sobre o objeto causando a aceleração a 0 = 3   m / s 2 . Nesse caso, só há F 0 , então a força resultante é F r e s = F 0 . E como a = a 0 = 3   m / s 2 , podemos escrever:

F r e s = m a

F 0 = 3 m

Prontinho, agora a gente tem tudo para entrar nos itens e resolver. Bora lá!

Passo 2

a) Precisamos achar o módulo da força resultante F r e s para esse caso, que vai ser a soma vetorial das duas forças atuando no bloco. Podemos fazer o desenho dessas forças em um plano e desenhar a soma vetorial no formato de triângulo, assim:

Esse quadrado azul é o nosso bloco visto de cima.

Para esquematizar a soma vetorial a gente precisa preservar as orientações dos vetores, colocar os vetores que serão somados um começando no fim do outro, e colocar o vetor resultante começando no ínicio do primeiro vetor e terminando no final do último.

Aí para achar o tamanho do vetor F r e s a gente calcula o tamanho do segmento verdinho da nossa figura. Como a gente tem um triângulo retângulo, podemos usar Pitagoras:

F r e s 2 = F o 2 + F 0 2

F r e s 2 = 2 F 0 2

F r e s = 2 F 0

Passo 3

A aceleração é então dada pela segunda lei de Newton:

a = F r e s m

a = 2 F 0 m

Lembrando que F 0 = 3 m :

a = 2 3 m m

a = 2 ⋅ 3

a = 4,2   m / s 2

Obs: Como ele só pede a magnitude, esse já é o resultado final. Mas se quiser saber a orientação de a → como está no gabarito, você pode perceber que o triângulo retângulo que a gente formou com as forças tem lados iguais. Ou seja, ele é a metade de um quadrado.

Então podemos enteder que F r e s → faz 45 ° com a horizontal. E assim, a → também.

Passo 4

b) Precisamos achar o módulo da força resultante F r e s para esse caso, que também vai ser a soma vetorial das duas forças atuando no bloco. Podemos fazer o desenho dessas forças em um plano e desenhar a soma vetorial no formato de triângulo, assim:

Esse quadrado azul é o nosso bloco visto de cima.

Esquematizamos a soma vetorial da mesma forma: a gente precisa preservar as orientações dos vetores, colocar os vetores que serão somados um começando no fim do outro, e colocar o vetor resultante começando no ínicio do primeiro vetor e terminando no final do último.

Aí para achar o tamanho do vetor F r e s a gente calcula o tamanho do segmento verdinho da nossa figura. Percebe que a gente pode descobrir o valor de θ . Como? Pela figura, ele e 45 ° somam 180 ° , então:

θ + 45 ° = 180 ° → θ = 135 °

Então a gente tem dois segmentos de um triângulo e o ângulo entre eles, e quer saber o tamanho do segmento oposto. Isso é uma dica para achar F r e s usando a lei dos cossenos:

F r e s 2 = 2 F 0 2 + F 0 2 - 2 2 F 0 F 0 cos ⁡ θ

F r e s 2 = 4 F 0 2 + F 0 2 - 4 F 0 2 cos ⁡ θ

F r e s 2 = 5 F 0 2 - 4 F 0 2 cos ⁡ θ

F r e s = 5 F 0 2 - 4 F 0 2 cos ⁡ θ

Passo 5

A aceleração é então dada pela segunda lei de Newton:

a = F r e s m

a = 5 F 0 2 - 4 F 0 2 cos ⁡ θ m

Lembrando que F 0 = 3 m e θ = 135 ° :

a = 5 3 m 2 - 4 3 m 2 - 2 2 m

a = 45 m 2 + 18 2 m 2 m

a = m 2 45 + 18 2 m

Tirando m 2 da raiz:

a = m 45 + 18 2 m

a = 45 + 18 2

a ≈ 8,4   m / s 2

Obs: Novamente, essa já pode ser sua resposta final. Mas se quiser achar a orientação de a → , você pode achar a orientação α de F → r e s usando a lei dos senos.

Como F 0 é oposto a α , e F r e s é oposto a θ :

s e n   θ F r e s = s e n   α F 0 → s e n   α = F 0 s e n   θ F r e s

s e n   α = F 0 s e n   θ 5 F 0 2 - 4 F 0 2 cos ⁡ θ

s e n   α = F 0 s e n   θ F 0 5 - 4 cos ⁡ θ

α = a r c s e n s e n   θ 5 - 4 cos ⁡ θ = a r c s e n s e n   135 ° 5 - 4 cos ⁡ 135 °

α ≈ 15 °

Resposta

a )   a = 4,2   m / s 2

b )   a = 8,4   m / s 2

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