Enunciado

a) Deduza uma expressão para o deslocamento total do comprimento de onda de um fóton que sofreu dois sucessivos espalhamentos Compton produzidos por elétrons inicialmente em repouso. Na primeira colisão, o ângulo do espalhamento do fóton é igual a θ 1 e na segunda é θ 2 . b) Geralmente, quando ocorrem dois espalhamentos sucessivos com ângulos iguais a θ / 2 , o resultado é o mesmo que ocorreria para um único espalhamento com ângulo igual a θ ? Caso sua resposta seja negativa, existem valores epsecificso ed θ , além de θ = 0 , em que os deslocamentos totais sejam os mesmos? c) Use o resultado do item (a) para calcular o deslocamento total do comprimento de onda de um fóton que sofreu dois sucessivos espalahemtnos Compton de 30 ° cada. Expresse sua resposta em termos de h / m c . d) Qual é o deslocamento do comprimento de onda produzido por um único espalhamento de 60,0 ° ? Compare sua resposta com o resultado encontrado no item (c).

Passo 1

a) A equação para cada espalhamento separado é:

∆ λ 1 = h m c ( 1 - c o s θ 1 )

∆ λ 2 = h m c ( 1 - c o s θ 2 )

Como podemos separar em dois espalhamentos distintos, a variação total de λ vai ser a soma de cada variação independente:

∆ λ = ∆ λ 1 + ∆ λ 2

∆ λ = h m c 1 - c o s θ 1 + h m c ( 1 - c o s θ 2 )

A soma fica:

∆ λ = h m c 2 - c o s θ 1 - c o s θ 2

Passo 2

b) Como são dois espalhamentos com ângulos θ / 2 , vamos substituir isso na equação que deduzimos na letra (a):

∆ λ = h m c 2 - cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2 = 2 h m c 1 - cos ⁡ θ 2

Se compararmos com a equação para um espalhamento com ângulo θ :

∆ λ = h m c ( 1 - c o s θ )

Fica:

h m c 1 - c o s θ = 2 h m c 1 - cos ⁡ θ 2

Simplificando:

- c o s θ = 1 - 2 cos ⁡ θ 2  

1 + c o s θ = 2 cos ⁡ θ 2  

Mas essa igualdade só é válida quando θ = 180 ° , como a questão diz para um caso geral, então a afirmação está errada.

Passo 3

c) A questão pede para usarmos a equação que calculamos na letra (a) para o caso de um fóton que sofreu dois espalhamentos de 30 ° cada. Substituindo os valores dos ângulos:

∆ λ = h m c 2 - c o s ⁡ ( 30 ° ) - c o s ⁡ ( 30 ° )

Como c o s 30 ° = 3 / 2

∆ λ = h m c 2 - 3 = 0,268 h m c

Passo 4

d) Nesse caso precisamos tomar cuidado, porque a questão pede para calcularmos UM único espalhamento de 60 ° .

∆ λ = h m c 1 - c o s ⁡ ( 6 0 ° )

∆ λ = 0,5 h m c

E os valores entre esse resultado e o anterior deram diferentes, como a gente previu pela letra (b).

Resposta

a   ∆ λ = h m c 2 - c o s θ 1 - c o s θ 2

b   N ã o

c   0,268 h m c

d   0,5 h m c

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