Enunciado

(a) Que fração f da energia cinética é transferida por uma partícula de massa m, que se move com velocidade v, numa colisão frontal elástica com uma partícula de massa m’ inicialmente em repouso? Exprima o resultado em função da razão λ = m’/m. Para que valor de λ a transferência é máxima, e quanto vale?(b) Coloca-se entre as duas partículas uma terceira, de massa m’’, em repouso, alinhada com m e m’. Mostre que a transferência de energia cinética de m para m’ é máxima quando m ' ' = m m ' .   Mostre que, para m m’, a presença da partícula intermediária possibilita transferir mais energia cinética de m para m’ do que no caso (a).

Passo 1

  1. Eae meu povo, tio Moysés não alivia né? Mas não se preocupa que aqui a gente desenrola! O primeiro passo é olhar as fórmulas de velocidade numa colisão, saca só
  • A velocidade final v f da partícula de massa m fica assim
  • v f = m - m ' m + m ' v i + 2 m ' m + m ' v ' i

  • A velocidade final v ' f da partícula de massa m ' fica assim
  • v ' f = m ' - m m ' + m v ' i + 2 m m ' + m v i

    Mas na situação do enunciado a gente sabe que v i ' = 0 , então fica bem mais simples

    v f = m - m ' m + m ' v i v ' f = 2 m m ' + m v i

    Certo, como o problema fala na variação de energia cinética da partícula m vamos calculá-la.

    Δ T = m v f 2 2 - m v i 2 2

    Pegando o valor da velocidade final do nosso sistema de equações e substituindo nessa fórmula,

    Δ T = m 2 m - m ' m + m ' v i 2 - m v i 2 2

    Vamos desenvolver colocando v i 2 e m 2 em evidência,

    Δ T = m v i 2 2 m - m ' m + m ' 2 - 1

    Pra prosseguir é só multiplicar o 1 em cima e embaixo pelo mesmo valor m + m ' 2

    Δ T = m v i 2 2 m - m ' m + m ' 2 - m + m ' m + m ' 2

    Colocando a parte de baixo pra fora fica

    Δ T = m v i 2 2 m + m ' 2 m - m ' 2 - m + m ' 2      

    Vamos desenvolver os termos ao quadrado de dentro,

    m - m ' 2 - m + m ' 2

    = m 2 - 2 m m ' + m ' 2 - m 2 - 2 m m ' - m ' 2

    = - 4 m m '

    Substituindo de volta na variação de energia cinética, obtemos

    Δ T = - 4 m 2 m ' v i 2 2 m + m ' 2

    Galera, como o problema quer que usemos λ = m ' m vamos dividir em cima e embaixo por m 2

    Δ T = - 4 m 2 m ' m 2 v i 2 2 m + m ' m 2

    = - 4 m λ v i 2 2 1 + λ 2

    Legal, como nosso interesse é achar f = Δ T T i vamos efetuar a divisão, saca só como fica

    f = - 4 m λ v i 2 2 1 + λ 2 m v i 2 2

    = - 4 λ 1 + λ 2

    Ae, se quisermos saber que valor de lambda maximiza a transferência basta derivarmos a função e igualar a 0. Vem comigo!

    Pela regra do quociente temos,

    f ' λ = - 4 1 + λ 2 + 8 λ 1 + λ 1 + λ 4

    = - 4 1 + λ + 8 λ 1 + λ 3

    No ponto de máximo f ' λ = 0 , logo

    - 4 1 + λ + 8 λ = 0

    - 4 + 4 λ = 0

    Finalmente,

    λ = 1

    Passo 2

  • Aqui basicamente vamos repetir o mesmo procedimento porém com uma partícula a mais. A primeira colisão é com a partícula m ' ' então é só pegar nosso sistema lá de cima e onde tem v ' e   m ' ,   trocar por v ' ' e   m ' ' . Se liga aqui!
  • Colisão 1
  • v f = m - m ' ' m + m ' ' v i v ' ' f = 2 m m ' ' + m v i

    Agora, para a segunda colisão a dica para não se confundir com as fórmulas é pensar em quem é a partícula incidente e a partícula alvo, por exemplo:

    Se m 1   é projétil e m 2 é o alvo em repouso , então

    v f 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1

    Ou seja, a velocidade final da partícula alvo em repouso vai com a massa do projétil em cima e a velocidade inicial do projétil também. Esse é sempre o padrão! Vamos só repetir com as massas m ' ' de projétil e m ' de alvo. Obs: Para a equação de v f 1 é só olhar lá em cima o nosso primeiro sistema e fazer a analogia pra essa colisão!

    Finalmente fica assim

  • Colisão 2

v ' ' f = m ' ' - m ' m ' + m ' ' v ' ' i v ' f = 2 m ' ' m ' ' + m ' v ' ' i

Tranquilo, mas na segunda colisão temos que ter em mente que a velocidade final v f ' ' da colisão 1 será a velocidade inicial v i ' ' . Então

v ' ' f = m ' ' - m ' m ' + m ' ' 2 m m ' ' + m v i v ' f = 2 m ' ' m ' ' + m ' 2 m m ' ' + m v i

OK, a energia cinética transferida à partícula final m ' é a sua vriação de energia cinética, certo? Então vamos calculá-la

Δ T ' = m ' v ' f 2 2 - m ' v i ' 2 2

= m ' v f ' 2 2

Substituindo pelo valor da velocidade final encontrado no sistema da colisão 2,

Δ T ' = m ' 2 2 m ' ' m ' ' + m ' 2 m m ' ' + m v i 2  

= 16 m ' m ' ' 2 m 2 2 m ' ' + m ' 2 m ' ' + m 2 v i 2

Show! Agora vamos calcular a fração de energia cinética transferida

f ' = Δ T ' T i

= 16 m ' m ' ' 2 m m ' ' + m ' 2 m ' ' + m 2 m v i 2 2 m v i 2 2  

Finalmente,

f ' = 16 m ' m ' ' 2 m m ' ' + m ' 2 m ' ' + m 2

Para achar o valor de m ' ' que maximiza a fração de energia transferida vamos repetir o mesmo procedimento da letra a). Bora derivar!!!

Primeiro vamos olhar para o denominador da fração e chamar de D para facilitar nossas contas.

D = m ' ' + m ' 2 m ' ' + m 2         ( 1 )            

Pela regra do produto,

d d m ' ' D = 2 m ' ' + m ' m ' ' + m 2 + 2 m ' ' + m m ' ' + m ' 2

= 2 m ' ' + m m ' ' + m ' [ m ' ' + m + m ' ' + m ' )

Galera, a primeira parte que tá multiplicando o 2 antes dos colchetes é igual a D , ou seja,

d d m ' ' D = 2 D 2 m ' ' +   m +   m '               ( 2 )

Já para a função f vamos isolar a constante 16 m ' m e usar a regra do quociente,

d d m ' ' f ' = 16 m ' m d d m ' ' m ' ' 2 . D - d d m ' ' D . m ' ' 2 D 2

Como o ponto de máximo ocorre quando a derivada é igual a 0 temos

0 = 16 m ' m d d m ' ' m ' ' 2 . D - d d m ' ' D . m ' ' 2 D 2

d d m ' ' m ' ' 2 . D - d d m ' ' D . m ' ' 2 = 0

Derivando o termo m ' ' 2 ,

2 m ' ' D - d d m ' ' D m ' ' 2 = 0

Ainda podemos simplificar mais dividindo por m ' ' 2 , uma vez que seu valor não é 0.

2 D - d d m ' ' D m ' ' = 0

Gente, para substituir a derivada de D usamos nossa equação ( 2 ) ,

2 D - 2 D 2 m ' ' +   m +   m ' m ' ' = 0

Dividindo os 2 lados por 2 D fica assim

D - 2 m ' ' +   m +   m ' m ' ' = 0

Substituindo o valor de D presente na equação ( 1 ) ,

m ' ' + m m ' ' + m ' - 2 m ' ' +   m +   m ' m ' ' = 0

m ' ' 2 + m ' ' m ' + m ' ' m + m m ' - 2 m ' ' 2 - m ' ' m - m ' ' m ' = 0

- m ' ' 2 + m m ' = 0

Finalmente a gente tem o resultado esperado

m ' ' = m m '

Passo 2

Galera, vamos ver o que acontece com a fração de energia transferida quando a massa intermediária é dada por m ' ' = m m '

f ' = 4 m ' m 2 m m ' + m ' 2 m m ' + m 2

= 4 m ' m m m ' + m ' m m ' + m 2

Dividindo em cima e embaixo por m 2 temos

f ' = 4 m ' m m 2 m m ' m 2 + m ' m m m ' m 2 + m m 2

Trocando agora m ' m por λ ficamos com

f ' = 16 λ 2 λ + λ 2 1 + λ 2

= 16 λ 2 λ λ + 1 2 1 + λ 2

= 16 λ 1 + λ 4

Por fim, a gente só precisa comparar isso com a primeira transferência de energia encontrada.

f ' f = 16 λ 1 + λ 4 - 4 λ 1 + λ 2

= 4 1 + λ 2 1 + λ 4

Galera, se λ = 1 temos

f ' f = 4 2 2 2 4 = 1

Para saber o comportamento dessa função, ou seja, se ela é maior que 1 ou 0 o ideal é analisar o comportamento da sua derivada em torno do ponto λ = 1 . Maaas por praticidade podemos apenas conferir com um valor arbitrário.

Vamos supor λ = 4

f ' f = 4 5 2 3 2 = 100 9 > 0

Agora um valor menor que 1 , supondo λ = 1 4

f ' f = 4 1,25 2 1,5 2 = 2,77

Ok, como independente de o valor ser maior ou menor que 1 a transferência de energia é maior no caso b) do que no caso a) mostramos o que foi pedido no problema, show!! Bora treinar mais ou descansar um pouco?

... Só uns 5 minutinhos vai! Haha.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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