Enunciado

Em um jogo de sinuca, a tacadeira, que tem uma rapidez inicial de 5,0 m / s , sofre uma colisão elástica com a bola oito, que está inicialmente em repouso. Após a colisão, a bola oito se move formando um ângulo de 30 ° à direita da orientação original da tacadeira. Suponha as bolas com massas iguais. (a) Determine a orientação do movimento da tacadeira imediatamente após a colisão. (b) Determine a rapidez de cada bola imediamente após a colisão.

Passo 1

a) Olá, tudo bem?

Então, essa tacadeira é a bolinha branca da sinuca. Ele diz que ela foi jogada com rapidez de v 0 = 5   m / s e atingiu a bola 8, que depois da colisão, se move sem um ângulo de 30 ° a direita da orientação em que a tacadeira foi jogada. Vamos fazer um esqueminha.

A gente só assumiu que v 0 está na direção y para ter um referencial, tá?

E a primeira coisa que ele quer saber é a orientação da bolinha branca depois da colisão. Que a gente pode interpretar como o ângulo da velocidade final da bolinha com o vetor v 0 → . Vamos ver como achar isso!

Passo 2

Como ele diz que a colisão é elástica, podemos afirmar que a energia cinética se conservou na colisão. Ou seja,

K i = K f

A energia cinética inicial é dada apenas pela bola branca, já que a bola 8 está em repouso no começo. Então temos

K i = m v 0 2 2

Depois a energia cinética é dada pelas duas bolas em movimento. O enunciado diz que elas têm a mesma massa m . E a gente pode considerar que a rapidez depois da colisão da tacadeira é v e da bola 8 é v 8 . A energia cinética final fica:

K f = m v 2 2 + m v 8 2 2

Aí a conservação de energia fica:

K i = K f

m v 0 2 2 = m v 2 2 + m v 8 2 2

Passo 3

Simplificando o que a gente achou:

v 0 2 = v 2 + v 8 2

Essa relação parece muito com o teorema de Pitagoras, né? É porque é mais ou menos isso mesmo, mas com os vetores das velocidades. A ideia é que o vetor velocidade inicial da bola branca pode ser a hipotenusa de um triângulo, onde os catetos são v → e v 8 → . Tipo assim:

Outra forma de a gente interpretar isso, é que, como as massas das bolinhas são iguais, para haver a conservação de energia, a velocidade inicial da bola branca precisa ser igual a soma vetorial das velocidades finais das duas bolas.

Por isso nosso triângulo tem cara de soma vetorial. E o que a gente queria? A orientação de v → , a velocidade final da bola branca. A soma de ângulos internos do triângulo é 180 ° , então para achar o ângulo que v → faz com v → 0 (com a direção de v 0 ), a gente faz

θ + 90 ° + 30 ° = 18 0 °

θ = 60 °

Passo 4

b) Queremos a rapidez de cada bolinha. Mas percebe que a gente tem um movimento em duas dimensões. Então a gente pode montar a equação de conservação de quantidade de movimento para cada um direção que a gente tem: x e y .

Agora vamos usar conservação da quantidade de movimento no eixo y:

p y i = p y f

m v 0 y = m v y + m v 8 y

As componentes de v → e v 8 → vão usar o cosseno do ângulo que orienta esses vetores, porque ambos os ângulos estão colados em y . E a componente de v → 0 vai ser v 0 mesmo porque ela está na vertical. Ficamo assim:

m v 0 = m v c o s θ v + m v 8 cos ⁡ 30 °

Cortando a massa e substituindo os valores do ângulo e da velocidade inicial:

v 0 = v   c o s 60 ° + v 8 cos ⁡ 30 °

5 = v × 1 2 + v 8 × 3 2

10 = v + 3 v 8   ( * )

Passo 5

E conservando a quantidade de movimento no eixo x:

p x i = p x f

m v 0 x = m v x + m v 8 x

Aqui a gente vai usar seno para as componentes de v e v 8 . Mas repara que v aponta para a parte negativa de x , então fica com sinal de menos. E v 0 x é nula, já que v 0 é vertical. Então temos:

0 = - m v   s e n   θ + m v 8   s e n   30 °

m v s e n θ v = m v 8 s e n   30 °

Cortando a massa e substituindo os valores dos ângulos:

v × 3 2 = v 8 × 1 2

v 3 = v 8   * *

Botando isso na equação ( * ) :

v + 3 v 8 = 10   ( * )

v + 3 × v 3 = 10

4 v = 10

v = 2.5 m / s

Daí, achamos v 8 voltando em * * :

v 8 = v 3

v 8 = 2.5 3 = 4.33 m / s

Resposta

Velocidade da tacadeira: 2.5 m / s

Velocidade da bola 8: 4.33 m / s

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