Enunciado

Em uma fria manhã de sábado (4,0 °C), uma piloto enche de combustível o seu Pitts S-2C (um avião acrobático com dois assentos) até completar sua capacidade máxima de 106,0 L. Antes de voar no domingo pela manhã, quando a temperatura é novamente igual a 4,0 °C, ela verifica o nível do combustível e nota que existem somente 103,4 L de gasolina nos tanques de alumínio. Ela conclui que a temperatura no sábado à tarde se elevou e que a expansão térmica da gasolina fez com que o combustível que faltava transbordasse por uma saída dos tanques. (a) Qual foi a temperatura máxima (em °C) atingida pelo combustível na tarde de sábado? O coeficiente de dilatação volumétrica da gasolina é igual a 9,5 x 10-4 K- 1. (b) Para que ela pudesse dispor de maior quantidade de combustível para o voo, quando deveria ter enchido o tanque?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolvermos esse exercício, temos que relembrar a relação que descreve o fenômeno de dilatação térmica em decorrência de um aumento na temperatura. Bem, é um resultado experimental que, ao aquecermos um material, ele sofrerá dilatação em todas as direções. Matematicamente, a variação de volume Δ V é diretamente proporcional ao volume inicial V 0 e à própria variação de temperatura Δ T . A constante de proporcionalidade β entre as grandezas em questão é o coeficiente de dilatação, que varia de material para material:

Δ V = β V 0 Δ T

Passo 2

(a) Nesse item, vamos utilizar uma informação encontrada na tabela 17.2 do livro na sessão “Expansão Térmica”. Ela consiste no coeficiente de dilatação volumétrica do alumínio, que é

β A l = 7,2 × 10 - 5   K - 1

Passo 3

Se a piloto do exercício colocou encheu o tanque do avião a 106   L e, após todo o processo de dilatação e contração térmicas o resultado foi que apenas 103,4   L permaneceram no tanque, segue que houve um transbordo de 2,6   L de gasolina. Isso significa que a diferença entre os volumes finais do tanque e da gasolina, após sofrerem uma variação de temperatura Δ T = T - 4 , em que T consiste na temperatura máxima atingida pelo combustível na tarde de sábado, foi de 2,6   L .

Passo 4

Com isso em mente, podemos expandir essa diferença usando as relações de dilatação volumétricas e isolar a temperatura que desejamos calcular. Sejam V f T e V 0 T os volumes final e inicial do tanque, respectivamente, e V f G , V 0 G os valores análogos para a gasolina. Como o coeficiente de dilatação volumétrica dessa é β G = 9,5 × 10 - 4   K - 1 , vale o seguinte:

V G = V 0 G 1 + α G Δ T = 106 1 + 9,5 × 10 - 4 T - 4

V T = V 0 T 1 + α T Δ T = 106 1 + 7,2 × 10 - 5 T - 4

Usando

2,6 = V G - V T

2,6 = 106 1 + 9,5 × 10 - 4 T - 4 - 106 1 + 7,2 × 10 - 5 T - 4

2,6 = 0,0933 T - 4

Logo, a temperatura máxima atingida pelo combustível na tarde de sábado foi

T = 27,96   ° C

Passo 5

(b) Nesse item, vamos utilizar todas as informações usadas no item (a), além do próprio resultado lá encontrado sobre a temperatura máxima do combustível na tarde de sábado.

Nosso objetivo, agora, é encontrar o volume inicial de combustível a ser colocado de sorte que, ao dilatar durante o aumento até a temperatura máxima calculada no item anterior, esse atinja a capacidade máxima do tanque após a dilatação, permanecendo assim na iminência de transbordar, mas sem o fazer.

Passo 6

Para tal, vamos começar calculando o volume que o tanque irá atingir após a dilatação na temperatura máxima T = 27,96   ° C . A notação será a mesma introduzida no item anterior:

V T = V 0 T 1 + α T Δ T

V T = 106 1 + 7,2 × 10 - 5 27,96 - 4

V T = 106,0017   L

Calculemos, agora, V 0 G , com a condição de o volume final ser V G = V T = 106,0017   L :

V 0 G = V G 1 + α G Δ T = 106,0017 1 + 9,5 × 10 - 4 23,96

V 0 G = 103,618   L

Resposta

  1. Portanto, a temperatura máxima atingida pelo combustível na tarde de sábado foi T = 27,96   ° C .
  2. Portanto, para que a piloto conseguisse dispor de maior quantidade de combustível para o voo, ela deveria ter abastecido o avião com V 0 G = 103,618   L .

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