Enunciado

A função y x , t = 15,0   c m c o s ⁡ ( π x - 15 π t ) , com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y = 12,0   c m ?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, essa questão pede pra gente a velocidade transversal de um ponto na corda, mas nos dá a função do deslocamento.

Mas calma lá chefia, porque pra gente chegar em uma a partir da outra, basta derivar em relação ao tempo, saca só:

y x , t = 15 c o s ⁡ ( π x - 15 π t )

∂ y ∂ t = v x , t

∂ y ∂ t = 15 ( 15 π ) sen ⁡ ( π x - 15 π t )

Nosso objetivo então é achar o valor dessa função v ( x , t ) de um ponto qualquer da corda no instante em que o deslocamento desse ponto (o valor da função y ( x , t ) ) é 12,0   cm . Então bora lá!

Passo 2

Vamos dizer que esse ponto mencionado no enunciado tem coordenadas x 1 e t 1 . Da forma:

x 1 ,   t 1

Substituindo isso na função do deslocamento:

y x 1 , t 1 = 12

y x 1 , t 1 = 15 c o s ⁡ ( π x 1 - 15 π t 1 )

Logo:

12 = 15 c o s ⁡ ( π x 1 - 15 π t 1 )

Ou seja, a informação que temos é:

cos ⁡ π x 1 - 15 π t 1 = 12 15

Vamos ver se isso nos ajuda a achar o que a questão pediu. A velocidade desse ponto tem essa fórmula aqui:

v x 1 , t 1 = 15 ( 15 π ) sen ⁡ ( π x 1 - 15 π t 1 )

Dessa forma, o valor dentro das funções trigonométricas é o mesmo! Vamos dar um nome pra essa expressão:

π x 1 - 15 π t 1 = A

Passo 3

Como o nosso problema é calcular o valor desse seno. Vamos usar essa propriedade:

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1

Ou seja:

cos 2 ⁡ A + sen 2 ⁡ A = 1

sen ⁡ A = 1 - cos 2 ⁡ A

Então:

v x 1 , t 1 = ( 225 π ) sen ⁡ ( π x 1 - 15 π t 1 )

v x 1 , t 1 = ( 225 π ) sen ⁡ ( A )

Tal que:

v = ( 225 π ) 1 - cos 2 ⁡ A

Susbituindo os valores:

v = ( 225 π ) 1 - 12 15 2

v = ( 225 π ) 0,36

v = 424   cm/s

E então em m/s , temos:

v = 4,24   m/s

Resposta

A velocidade é v = 4,24   m/s .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Duas ondas harmônicas, em cordas idênticas, diferem apenas em amplitude. A onda A tem uma amplitude que é o dobro da amplitude da onda B. Como se comparam as energias dessas ondas? (a) E a = E b , (b)
Enquanto uma onda senoidal passa por um ponto de uma corda esticada, o tempo de chegada entre duas cristas sucessivas é medido como 0,20 s . Qual das seguintes afirmativas é verdadeira? (a) O comprime
Neste problema, você deduzirá uma expressão para a energia potencial de um segmento de uma corda que transmite uma onda progressiva. A energia potencial de um segmento é igual ao trabalho realizado pe
Uma corda longa, de 0,100 k g / m de massa por unidade de comprimento, está sob uma tração de 10,0 N . Um motor induz, em uma das extremidades da corda, um movimento harmônico simples transversal de 5
Um diapasão, preso a uma corda esticada, gera ondas transversais. A vibração do diapasão é perpendicular à corda. Sua frequência é de 400 H z e a amplitude de sua oscilação é 0,50 m m . A corda tem um