Enunciado

Seja uma corda tensa, com uma massa por unidade de comprimento μ 1 , transportando pulsos de onda transversais que incidem sobre um ponto onde a corda é conectada a uma outra corda, com uma massa por unidade de comprimento μ 2 . (a) Mostre que, se μ 1 = μ 2 , o coeficiente de reflexão r é igual a zero e o coeficiente de transmissão τ é igual a + 1 . (b) Mostre que se μ 2 ≫ μ 1 , r ≅ - 1 e τ ≅ 0 . (c) Mostre que, se μ 2 ≪ μ 1 , r = + 1 e τ = + 2 .

Passo 1

Vamos lembrar das fórmulas para os coeficientes de reflexão r e transmissão τ :

r = v 2 - v 1 v 2 + v 1

τ = 2 v 2 v 2 + v 1

E em ambos os casos, a rapidez v da onda na corda é dada por essa fórmula:

v = T μ  

Onde T é a força de tensão à qual a corda está submetida, e μ é a densidade linear da corda. Como as cordas estão conectadas, a tensão T é a mesma para as duas, e só a densidade linear varia.

Vamos substituir isso nas expressões para os coeficientes, já cortando T nos numerador e nos denominadores:

r = 1 μ 2   - 1 μ 1 1 μ 2   + 1 μ 1

τ = 2 1 μ 2   1 μ 2   + 1 μ 1

Agora é só analisar o que acontece nos extremos.

Passo 2

(a) Quando μ 2 = μ 1 , os dois termos que formam uma subtração no numerador de r vão se cancelar, e por isso r = 0 :

r = 1 μ 2   - 1 μ 1 1 μ 2   + 1 μ 1 = 0

E no denominador de τ , os dois termos ficaram iguais, e seram somados para ficarem iguais ao numerador:

τ = 2 1 μ 2   1 μ 2   + 1 μ 1 = 2 1 μ 2   2 1 μ 2   = 1

Passo 3

(b) No caso em que μ 2 ≫ μ 1 , o termo em que μ 2 aparece no denominador são desprezíveis quando somado/subtraído do outro:

1 μ 2   - 1 μ 1 ≅ - 1 μ 1

1 μ 2   + 1 μ 1 ≅ 1 μ 1

Então:

r = 1 μ 2   - 1 μ 1 1 μ 2   + 1 μ 1 ≅ - 1 μ 1 1 μ 1 = - 1

E para o coeficiente de transmissão, temos que fazer mais uma aproximação:

τ = 2 1 μ 2   1 μ 2   + 1 μ 1 ≅ 2 1 μ 2   1 μ 1 = 2   μ 1 μ 2

E como μ 2 ≫ μ 1 , essa última fração vai se aproximar de zero:

τ ≅ 0

Passo 4

(c) No caso em que μ 2 ≪ μ 1 , temos simplesmente o inverso da situação anterior:

1 μ 2   - 1 μ 1 ≅ 1 μ 2

1 μ 2   + 1 μ 1 ≅ 1 μ 2

Então:

r = 1 μ 2   - 1 μ 1 1 μ 2   + 1 μ 1 ≅ 1 μ 2 1 μ 2 = 1

E para o coeficiente de transmissão, temos que fazer mais uma aproximação:

τ = 2 1 μ 2   1 μ 2   + 1 μ 1 ≅ 2 1 μ 2   1 μ 2   = 1

Resposta

Demonstração.

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