Enunciado

A função de onda y   ( x ,   t ) para uma determinada onda estacionária em uma corda que é fixada nas duas extremidades é dada por y   ( x ,   t ) = ( 0,0500   m ) s e n ( 2,50 m - 1 x ) c o s ( 500 s - 1 t ) . Uma onda estacionária pode ser considerada como a superposição de duas ondas que estão se deslocando. (a) Qual é a velocidade e a amplitude das duas ondas que resultam na onda estacionária especificada? (b) Qual é a distância entre nós sucessivos na cadeia? (c) Qual é o menor comprimento possível da corda?

Passo 1

a) Olá! Não se assuste com essa função feia não. O que ele quer dizer é que uma onda pode ser interpretada como uma soma de duas ondas. A forma mais simples de fazer essa superposição é somar duas ondas com mesma frequência e velocidade.

Aí a onda resultante permanece com a mesma frequência e velocidade das suas componentes, mas a sua amplitude é a soma das amplitudes das duas ondas que a formam, tudo bem?

Então quando ele pede a velocidade das duas ondas que podem formar a onda do enunciado, ele quer na real a velocidade dessa onda mesmo.

Bom, a velocidade da letra (a) pode ser determinada pela seguinte equação:

v = w k

Ele nos deu uma equação da onda nessa forma geral

y x , t = A   s e n k x cos ⁡ ω t + δ

então o w e o k são obtidos diretamente da equação dada no enunciado, o k é o termo que multiplica o x dentro do seno e o w é que multiplica o t dentro do cosseno:

k = 2,50 m - 1

w = 500 s - 1

Substituindo na primeira equação:

v = 500 s - 1 2,50 m - 1 = 200 m / s

Passo 2

Pela equação dada no enunciado, nós sabemos o valor da amplitude da onda estacionária A E ,

A E = 0,05   m

que na verdade é a superposição de ondas. Então para achar a amplitude de cada onda que forma a nossa onda do enunciado, podemos ir pelo caminho mais simples, e dizer que cada onda dessa tem a mesma amplitude A .

Como a soma delas forma a onda do enunciado, então a soma das amplitudes de cada onda deve dar A E , assim podemos escrever que

A E = A + A = 0,0500   m

A E = 2 A = 0,0500   m

A amplitude das duas ondas então é:

A = 2,50   c m

Passo 3

(b) Vamos lembrar que a distância d entre dois nós é meio comprimento de onda, vamos escrever então da seguinte maneira:

d = 1 2 λ

Mas temos uma fórmulinha para λ em termos da velocidade e da frequência:

v = λ f → λ = v f

Substituindo na nossa relação acima

d = v 2 f

Mas a gente não tem f , né? Só temos w , então precisamos usar a expressão que relaciona as duas

w = 2 π f → f = w 2 π

E então escrevendo a frequência na nossa expressão de d em termos de w:

d = 2 π v 2 w = π v w

Substituindo os valores que temos:

d = π 200 m / s 500 s - 1 = 1.26 m

Passo 4

c) No caso da letra (c), sabemos que há uma onda estacionária na corda e a distância entre dois nós é 1.26m. A condição para existir uma onda estacionaria numa corda pressa nas duas extremidades é

L = n 1 2 λ

Sendo que n é o número de harmônicos. O mínimo para n é 1 , então o comprimento mínimo da corda é

L = 1 2 λ

Isso quer dizer que o comprimento mínimo da corda deve ser metade do comprimento de onda. E quem é metade do comprimento de onda? A distância entre nós!

Então o menor valor do comprimento da corda será o mesmo da distância entre dois nós:

L = 1.26 m

Resposta

a v = 200 m / s

A = 2,50   c m

b d = 1.26   m

c L = 1.26   m

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