Enunciado

As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos aparecem na Fig. 39-23. para os quais n = 2 , λ = 1 , e m λ = 0 ,   + 1 ,   e - 1 são:

ψ 210 r , θ = 1 4 2 π a - 3 / 2 r a 2 e - r / 2 a c o s θ

ψ 21 + 1 r , θ = 1 8 2 π a - 3 2 r a e - r 2 a s e n θ ( e + i ϕ )

ψ 21 - 1 r , θ = 1 8 2 π a - 3 / 2 r a 2 e - r / 2 a s e n θ ( e - i ϕ )

onde os índices de ψ r , θ indicam os valores dos números quânticos n , λ e m λ e os ângulos θ e ϕ são definidos na Fig. 39-22. Observe que a primeira função de onda é real, mas as outras, que envolvem o número imaginário i , são complexas. Determine a densidade de probabilidade radial P ( r )   ( a ) para ψ 210 e ( b ) para ψ 21 + 1 e ψ 21 - 1 (que são iguais). ( c ) Mostre que os valores de P ( r ) estão de acordo com os gráficos de pontos da Fig. 39-23. (d) Some as densidades de probabilidade radial ψ 21 0 , ψ 21 + 1 e ψ 21 - 1 e mostre que o resultado depende apenas de r , ou seja, que a densidade de probabilidade radial total tem simetria esférica.

Passo 1

(a) A densidade de probabilidade para uma função de onda real, é o quadrado do módulo dessa função, então:

P 210 = 4 π r 2 ψ 210 ( r , θ ) 2 = 4 π r 2 32 π a - 3 r a 2 e - r / a cos 2 ⁡ θ

P 210 = r 4 8 a 5 e - r / a cos 2 ⁡ θ

E o 4 π r 2 apareceu porque estamos considerando a densidade de probabilidade de uma casca esférica de raio r .

Passo 2

(b) Para o caso de P 21 + 1 e P 21 - 1 , fazemos o produto da função pelo seu complexo conjuado ao invés de simplesmente elevarmos ao quadrado a função, então:

P 21 + 1 = 4 π r 2 ψ 21 + 1 ( r , θ ) 2 = 4 π r 2 ψ 21 + 1 * r , θ ψ 21 + 1 ( r , θ )

Onde o * significa que é o complexo conjugado da função ψ .

O produto vai ser:

P 21 + 1 = 4 π r 2 1 8 π a - 3 2 r a e - r 2 a s e n θ e + i ϕ 4 π r 2 1 8 π a - 3 2 r a e - r 2 a s e n θ e - i ϕ

Que resulta em:

P 21 + 1 = 4 π r 2 64 π a - 3 r a 2 e - r / a sen 2 ⁡ θ = r 4 16 a 5 e - r / a sen 2 ⁡ θ

E para P 21 - 1 , o valor será o mesmo.

Passo 3

(c) Para m l = 0 , a distância em relação ao núcleo faz a densidade de probabilidade diminuir conforme cresce. E por causa do temo cos 2 ⁡ θ a densidade de probabilidade é máxima no eixo z, igual à figura que o enunciado comenta.

Passo 4

(d) Para m l = ± 1 , as densidades de probabilidade P 21 + 1 e P 21 - 1 diminuem também quando se afastam do núcleo, e por causa do termo s e n 2 θ , vai ser máxima no plano xy. O que também corresponde à figura do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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