Enunciado

10 – Considere o espaço unidimensional no qual uma partícula pode experimentar um de três potenciais, mostrados a seguir, que dependem de sua posição. Eles são:

V = 0 ;   - ∞ < x ≤ 0

V = V 2 ;   0 < x ≤ L

V = V 3 ;   L < x ≤ ∞

Na região 1 ( - ∞ < x ≤ 0 ), a função de onda da partícula tem uma componente direta eik1x, que é incidente na barreira V2, e uma componente inversa e-ik1x. Na região 3, a função de onda tem somente uma componente direta, eik3x, que representa uma partícula que atravessou a barreira. A energia da partícula, E, tem algum valor no intervalo V2 > E > V3. A probabilidade de transmissão, T, é a razão entre o quadrado do módulo da amplitude da região 3 e o quadrado do módulo da amplitude incidente.

A) Fundamente seu cálculo na continuidade das amplitudes e na continuidade do coeficiente angular da função de onda na fronteira entre as regiões e obtenha uma equação geral para T.

B) Mostre que a equação geral para T se reduz à eq. 9.20b quando V1 = V3 = 0.

Passo 1

As funções de onda para cada região dada no enunciado são dadas pelas eq’s 9.14, 9.16 e 9.17:

ψ 1 x = e i k 1 x + B 1 e - i k 2 x                         E q 1

ψ 2 x = A 2 e k 2 x + B 2 e - k 2 x               E q 2

ψ 3 x = A 3 e i k 3 x             E q 3

Na Eq.1 foi escolhido que A1 = 1, pois a transmissão de probabilidade é simplesmente

T = A 3 2

Passo 2

Os coeficientes das funções de onda são determinados pelo critério que ambos as funções de onda e suas derivadas primeira com relação a x são continuas nas superfícies potenciais.

ψ 1 0 = ψ 2 0 ;   ψ 2 L = ψ 3 L

d ψ 1 0 d x = d ψ 2 0 d x ;   d ψ 2 L d x = d ψ 3 L d x

O critério estabelecido pelas relações algébricas:

1 + B 1 - A 2 - B 2 = 0

- i k 1 - k 2 A 2 + - i k 1 + k 2 B 2 + 2 i k 1 = 0

A 2 e k 2 L + B 2 e - k 2 L - A 3 e i k 3 L = 0

A 2 k 2 e k 2 L + B 2 k 2 e - k 2 L - A 3 k 3 e i k 3 L = 0

Passo 3

Resolvendo as eq’s acima vamos chegar que para A3:

A 3 = 4 k 1 k 2 e k 3 L i a + b e k 2 L - i a - b e - k 2 L

Onde,

a = k 2 2 - k 1 k 3

b = k 1 k 2 + k 2 k 3

Vamos relembrar que uma função hiperbólica do tipo senh é escrita como

s e n h z = e z - e - z 2

Assim,

e z = 2 s e n h z + e - z

Dessa forma

e k 2 L = 2 s e n h k 2 L + e - k 2 L

Assim,

A 3 = 4 k 1 k 2 e k 3 L i a + b s e n h k 2 L + b e - k 2 L

Passo 4

Para o coeficiente de transmissão T:

T = A 3 2

Assim,

T = 4 k 1 2 k 2 2 a 2 + b 2 s e n h 2 k 2 L + b 2

Onde,

a 2 + b 2 = k 1 2 + k 2 2 k 2 2 + k 3 2

b 2 = k 2 2 k 1 + k 3 2

Passo 5

B)

Para o caso especial de V1 = V3 = 0, pelas eq’s 9.14 e 9.17, vamos ter que:

k 1 = k 3

Teremos também que:

k 1 k 2 2 = E V 2 - E = ε 1 - ε

Onde,

ε = E V 2

Também temos que:

a 2 + b 2 = k 1 2 + k 2 2 2 = k 2 4 1 + k 1 k 2 2 2

b 2 = 4 k 1 2 k 2 2

Assim,

a 2 + b 2 b 2 = k 2 4 1 + k 1 k 2 2 2 4 k 1 2 k 2 2

a 2 + b 2 b 2 = k 2 2 1 + k 1 k 2 2 2 4 k 1 2

Assim,

a 2 + b 2 b 2 = 1 4 ε 1 - ε

Passo 6

Podemos reescrever a probabilidade de transmissão como:

T = 4 k 1 2 k 2 2 a 2 + b 2 s e n h 2 k 2 L + b 2

T = b 2 a 2 + b 2 s e n h 2 k 2 L + b 2

Rearranjando,

T = 1 1 + a 2 + b 2 b 2 s e n h 2 k 2 L

Assim,

T = 1 1 + 1 4 ε 1 - ε s e n h 2 k 2 L

Rearranjando:

T = 1 + s e n h 2 k 2 L 4 ε 1 - ε - 1

Como

s e n h k 2 L = e k 2 L - e - k 2 L 2

Assim,

T = e k 2 L - e - k 2 L 2 16 ε 1 - ε + 1 - 1

Resposta

A)

T = 4 k 1 2 k 2 2 a 2 + b 2 s e n h 2 k 2 L + b 2

B)

T = e k 2 L - e - k 2 L 2 16 ε 1 - ε + 1 - 1

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