Enunciado

Uma garota de 20   k g desliza pelo escorregador de um parquinho com uma queda vertical de 3,2   m . Quando ela atinge a base do escorregador, a rapidez dela é 1,3   m / s . (a) Quanta energia foi dissipada por atrito? (b) Se o escorregador está inclinado a 20 ° com a horizontal, qual é o coeficiente de atrito cinético entre a garota e o escorregador?

Passo 1

(a) Olá, querido! Como vai? Então, a gente tem uma menina de massa m = 20   k g que sai do repouso de uma altura h = 3,2   m . Ela chega ao final do escorrega, ou seja, na altura h = 0 , com uma velocidade de 1,3   m / s . Um esqueminha seria:

Ele quer saber a energia que foi dissipada. Ou seja, a variação negativa de energia mecânica entre o momento que a menina sai do repouso e quando ela chegou no fim do escorrega.

Vamos ver como achar isso!

Passo 2

De forma geral, a energia mecânica de um objeto é a soma da energia potencial gravitacional, a elástica e a energia cinética:

E = U g + U e l + K

Não há molas no nosso problema, então a gente descarta U e l . Sobra apenas a energia cinética K e a energia potencial gravitacional U g para avaliarmos os dois momentos do nosso problema.

Inicialmente, a menina está em repouso, então a energia cinética inicial dela é nula. Sobra então a energia potencial gravitacional, dada por U g = m g h . Então temos:

E 1 = U g = m g h

Subsituindo nossos dados:

U g = 20 9,81 3,2 = 628   J

No segundo momento, na base do escorrega, a menina está na altura h = 0 . Ou seja, a energia potencial gravitacional é nula. Então fica apenas a energia cinética dada por

E 2 = K = m v 1 2 2

Substituindo os dados:

E 2 = 20 1,3 2 2 = 16,9   J

Passo 3

A variação de energia fica:

Δ E = E 2 - E 1

Δ E = 16,9 - 628 = - 6 11   k J

Então a energia dissipada é:

E d i s = 611   J

Passo 4

(b) Para gerar essa variação de energia da menina, é preciso que alguma força realize trabalho sobre ela. Nesse caso, essa tarefa será cumprida pela força de atrito cinético, que tem essa fórmulinha:

F a t = μ N

Para achar a expressão da força normal N sobre a menina, podemos fazer um diagrama de corpo livre:

Para achar F n , a gente aplica a segunda lei de Newton no eixo y , onde ela está. Não há movimento nessa direção, então a y = 0 . Aí temos

∑ F y = m a y → ∑ F y = 0

F n - F g y = 0

F n - F g cos ⁡ θ = 0

F n = F g cos ⁡ θ

Sendo F g = m g :

F n = N = m g cos ⁡ θ

Substituindo isso na força de atrito:

F a t = μ N

F a t = μ m g cos ⁡ θ

O que queremos é esse coeficiente de atrito μ .

Passo 5

Agora para achar esse coeficiente, já que temos a variação de energia, podemos usar o teorema trabalho-energia para o nosso caso:

W e x t = Δ E

Sendo que a variação de energia é a que achamos no item (a):

Δ E = - 611 J

E o trabalho externo é o trabalho feito pela força de atrito. Como ela é uma força constante e aplicada na mesma direção onde movimento de extensão d acontece, podemos usar:

W = F d

Substituindo a expressão de F = F a t = μ m g cos ⁡ θ :

W e x t = - μ m g cos ⁡ θ d

Esse trabalho é negativo porque ele é contrário ao movimento (faz a menina acelerar menos).

Só que quem é esse d ? Olha de novo a figura:

A gente pode usar trigonometria para dizer:

h d = s e n   20 ° → d = h s e n   20 °

Substituindo na expressão do trabalho:

W e x t = - μ m g cos ⁡ θ d

W e x t = - μ m g cos ⁡ θ h s e n   20 °

Como θ = 20 ° :

W e x t = - μ m g cos ⁡ 20 ° h s e n   20 °

W e x t = - μ m g h t a n   20 °

Passo 6

Substituindo tudo o que a gente tem no teorema:

W e x t = Δ E

- μ m g h t a n   20 ° = - 611  

Substituindo os dados e isolando μ :

611 = μ 20 9,81 3,2 t a n   20 °

μ = 0,35

Resposta

(a) E d i s = 611   J .

(b) μ = 0,35 .

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