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Trace as figuras de Lissajous corerespondentes à composição dos seguintes movimentos harmônicos simples em direções perpendiculares:

(a) x = A cos ⁡ ω t , y = A sen ⁡ 2 ω t .

(b) x = A sen ⁡ ω t , y = A cos ⁡ 2 ω t .

Sugestão: Use o método dos dois círculos de referência.

Passo 1

(a) Vamos tentar usar o método dos dois círculos de referência.

Nessa primeira figura, a coordenada x vai ser tirada dessa função aqui:

x t = A cos ⁡ ( ω t )  

Mas pensando bem, isso é simplesmente a componente horizontal de um vetor de magnitude A e que roda com frequência angular ω :

E a coordenada y vai ser tirada de outra função:

y t = A sen ⁡ 2 ω t

Que é a componente vertical de um vetor que gira com o dobro da velocidade do de cima. A gente pode representar essa diferença de velocidade pela numeração dos pontos:

Até aqui fizemos tudo como se A = 1 . Isso não afeta o formato das figuras, só a escala.

Passo 2

Agora é só juntar esses dois conjuntos de pontos! Colocando y ( t ) na vertical e x ( t ) na horizontal, juntando os pontos com números iguais:

Agora é só continuar completando esses pontos! Sabendo que devemos esperar algum tipo de curva. O resultado vai ser o seguinte:

Passo 3

(b) Agora vamos fazer a mesma coisa com essas coordenadas aqui:

x t = A sen ⁡ ( ω t )  

y t = A cos ⁡ ( 2 ω t )  

O que isso quer dizer? Temos os mesmos vetores de antes, mas agora vamos pegar a componente vertical do primeiro, e a componente horizontal do segundo.

Esse caso é um pouco mais difícil de desenhar. Pelo primeiro gráfico, a gente vai tirar alguns “comprimentos” que vão dar as coordenadas horizontais:

Vamos continuar por mais alguns pontos:

Continuando esse ciclo, você vai chegar num desenho como esse aqui:

Resposta

Ver desenhos.

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