Enunciado

Seu gerente deseja que você projete um novo aquecedor para água superisolado para o mercado residencial. Uma bobina de fio Nichrome deve ser usada como elemento aquecedor. Estime o valor necessário para o comprimento do fio. Dica: você precisará determinar o tamanho de um aquecedor típico de água e um tempo razoável para fornecer água quente.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza?

Vamos começar pela 2ª Lei de Ohm. Tal lei diz que

R = ρ L A

Assim, temos

L = R A ρ

Sabemos que a potência P é dada por:

P = E 2 R ⟹ R = E 2 P

Mas, P = Δ E / Δ t é a taxa de energia pelo tempo fornecido. Logo,

R = E 2 Δ t Δ E

Como podemos calcular a energia Δ E ? Como o aquecedor é superisolado, toda a energia fornecida é usada para a água para o aquecimento. Sendo assim,

Δ E = m c Δ T

onde m é a massa da água, c o calor específico da água e Δ T é a variação da temperatura da água. Logo,

R = E 2 Δ t m c Δ T

Por fim, precisamos determinar a massa m da água:

m = ρ á g u a V

onde ρ á g u a é a densidade da água e V = A b a s e d é o volume do aquecedor ( A b a s e é a área da base e d é a altura do aquecedor). Juntando todas essas informações, temos

L = E 2 A Δ t ρ ρ á g u a A ' d c   Δ T

Passo 2

Vamos determinar alguns valores típicos dessas grandezas:

  • E podemos considerar 120   V .
  • A = 4,0 × 10 - 6   m 2 ;
  • Tempo razoável para esquentar a água: 1 hora ou 3600   s ;
  • ρ = 1,0 × 10 - 6   Ω   m ;
  • ρ á g u a = 1000   k g / m 3
  • A ' = 6,25 × 10 - 2   m 2 .
  • d = 0,50   m .
  • c = 4,18   k J / ( k g × ° C )
  • Δ T = 60 ° C (aquecer a água de 20 ° até 80 ° C ).

Juntando tudo isso, temos

L = 26   m

Resposta

O valor típico é 26   m .

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