Enunciado

Uma casca cilíndrica não condutora uniformemente carregada (Figura 26-38) tem comprimento L , raios interno e externo R i e R o , respectivamente, densidade de carga ρ e velocidade angular ω em torno de seu eixo. Derive uma expressão para o momento magnético do cilindro.

Passo 1

Considere a casca cilíndrica girando:

Como o cilindro está carregado, o movimento de rotação faz com que as cargas se movam junto, de modo que aparece uma corrente elétrica superficial.

Vamos considerar uma casca cilíndrica infinitesimal de raio r e espessura d r . Essa casca é tão fina que se comporta praticamente como uma espira:

d μ = π r 2   d I

A corrente infinitesimal d I se relaciona com a carga d q dessa casca infinitesimal por

d I = d q d t

Nesse caso, d t é o tempo para dar uma volta completa, dado por

d t = 2 π ω

Portanto,

d I = ω 2 π d q

Com isso,

d μ = π r 2 ⋅ ω 2 π d q = ω 2 r 2   d q

Passo 2

Agora precisamos relacionar a carga d q com a espessura infinitesimal d r . Para isso, usamos

d q = ρ   d V

O elemento de volume será

d V = L ⋅ 2 π r   d r

Esse é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. Você pode pensar na área 2 π r   d r de uma coroa circular infinitesimal de raio r e espessura d r multiplicada pela altura L do cilindro.

Assim,

d q = 2 π ρ L r   d r

Logo,

d μ = ω 2 r 2 ⋅ 2 π ρ L r   d r = π ρ L ω   r 3   d r

Passo 3

Daí basta integrar de R i até R o :

μ = π ρ L ω ∫ R i R o r 3   d r = π ρ L ω r 4 4 R i R o

Portanto,

μ = π ρ L ω 4 R o 2 - R i 2

Resposta

μ = π ρ L ω 4 R o 2 - R i 2

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