Enunciado

O gráfico da velocidade em função do tempo para uma partícula que parte da origem e se move ao longo do eixo O x está representado na Fig. 2.19. (a) Trace os gráficos da aceleração a ( t ) e da posição x ( t ) para 0 ≤ t ≤ 16 . (b) Quantos m a partícula terá percorrido ao todo (para frente e para trás) no fim de 12 s ? (c) Qual é o valor de x nesse instante?

Passo 1

a) Eae galera, pra traçar nossos gráficos vamos pensar nos conceitos de velocidade e aceleração, ok?

a = d v d t

No primeiro trecho ( 0 ≤ t ≤ 8 s ) temos uma acelereção constante (pois o gráfico de v por t é uma reta), então podemos escrever

a = Δ v Δ t = 12 - 0 8 - 0 = 1,5   m / s 2       p a r a   0 s ≤ t < 8 s

No segundo trecho a aceleração é negativa, então vamos ter

a = Δ v Δ t = - 12 - 12 12 - 8 = - 6   m / s 2       p a r a   8 s ≤ t < 12 s

E no último trecho a velocidade não varia. Isso significa que a aceleração é nula

a = 0     p a r a   12 ≤ t < 16

E o gráfico dessa aceleração seria algo assim:

Passo 2

Agora vamos procurar a posição em função do tempo. Como nosso movimento tem 3 partes, vamos escrever três s ( t ) e, como os movimentos tem aceleração constantes, esses s ( t ) são da seguinte forma

s t = s 0 + v 0 t - t 0 + a t - t 0 2 2

Então, vamo lá!

O primeiro trecho começa em t 0 = 0 , tem velocidade inicial v 0 = 0 e aceleração 1,5 m / s 2 (achamos essa aceleração no passo anterior, lembra?). Vamos supor que o movimento comece também em s 0 = 0 .

s t = 1,5 t 2 2   p a r a   0 ≤ t < 8 s

Esse trecho é uma parábola com concavidade para cima que começa em s 0 = 0 e termina em s 8 = 48   m .

O segundo trecho começa em t 0 = 8 s e s 0 = 48   m , tem velocidade inicial v 0 = 12 m / s e aceleração a = - 6 m / s 2

s t = 48 + 12 t - 8 - 6 t - 8 2 2   p a r a   8 s ≤ t < 12 s

Essa é uma parábola com concavidade para baixo que começa em s 8 = 48   m e termina em s 12 = 48 m

O último trecho começa em t 0 = 12 s e s 12 = 48   m , tem velocidade v = - 12 m / s e aceleração nula.

s t = 48 - 12 t - 12   p a r a   12 s ≤ t < 16 s

Que vai ser uma reta decrescente que começa em s 12 = 48 m e termina em s 16 = 0 m

Desenhando tudo isso em figura só, vamos ter

Passo 3

b) Aqui a pergunta tem uma pegadinha, por que o enunciado perguntou quantos metros a partícula andou para frente e para trás, ou seja, o enunciado não quer

Δ s = s f - s i

Mas sim o quanto ela andou de fato!

Parece meio chato, mas fica tranquilo de fazer isso olhando o gráfico do passo anterior 😉

Lá no gráfico de 0 a 12 s a partícula chega até a posição máxima 60 m e depois volta pra posição 48 m (que achamos lá no passo 2!).

Na primeira parte (na subida do gráfico) a partícula percorreu 60 m e na segunda parte percorreu 60 - 48 = 12 m , então o seu deslocamento será

d = 60 + 12 = 72 m

Passo 4

c) Já vimos lá no passo 2 qual seria o valor de x ( 12 ) , não é mesmo? Então toma aqui de graça haha

x 12 = 48 m

Resposta

𝑎) Gráficos dos passos 1 e 2

b) 72 m

c) 48 m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o movimento de uma partícula sujeita à aceleração variável dada por a x = a 0 x + b t , onde a 0 x e b são constantes e x = x 0 e v x = v 0 x , em t = 0 . (a) Encontre a velocidade instantân
Você venceu um sorteio para passar um dia com um time de baseball durante o treinamento de primavera. Você poderá tentar rebater algumas bolas jogadas pelo lançador. Estime a aceleração durante uma ta
A posição de um objeto como função do tempo é dada por x = A t 2 - B t + C , onde A = 8,0 m / s 2 ,B = 6,0m / s e C = 4,0m . Encontre a velocidade e a acelaração instantâneas como funções do tempo.
A velocidade de um carro em função do tempo é dada por v x t = α + β t 2 onde α = 3,0 m / s e β = 0,100 m / s 3 . a) Calcule a aceleração média do carro para o intervalo de tempo de t = 0 a t = 5,0 s
Aqueda da maçã de uma macieira pode ser considerada uma queda livre. A maçã está inicialmente a uma altura H acima do topo de um gramado espesso, o qual é constituído por camadas de grama de espessura