Enunciado

A velocidade de um carro em função do tempo é dada por v x t = α + β t 2 onde α = 3,0 m / s e β = 0,100 m / s 3 . a) Calcule a aceleração média do carro para o intervalo de tempo de t = 0 a t = 5,0 s . b) Calcule a aceleração instantânea para i) t = 0 ; ii) t = 5,0 s . c) Desenhe gráficos acurados v x t e a x t para o movimento do carro entre t = 0   e t = 5,0 s .

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá uma fórmula da velocidade de um carro em função do tempo:

v x t = α + β t 2

Onde:

α = 3,0 m / s

β = 0,100 m / s 3

A primeira coisa que devemos responder é a aceleração média do carro para o intervalo de tempo de t = 0 a t = 5,0 s .

Sabemos que a aceleração média é dada por:

a m é d i a = ∆ v x ∆ t

Nós precisamos usar v x ( t ) para encontrar para encontrar v x para cada t .

Então:

v x 0 = α + β ( 0 ) 2

v x 0 = α = 3,0 m / s

v x 5 = α + β ( 5 s ) 2

v x 5 s = 3,0 m / s   + 0,100 m / s 3 ⋅ 25 s

v x 5 = 5,5 m / s

Temos também que:

t f i n a l = 5 s t i n i c i a l = 0 ⇒   ∆ t = 5 s - 0 = 5 s

Dessa forma:

a m é d i a = 5,5 m / s - 3,0 m / s 5 s = 0,500 m / s 2

Passo 2

Então, aqui, nós precisamos calcular a derivada da função v ( t ) dada para encontrar a aceleração instântanea, a .

E para que possamos encontrar a aceleração, a x , nós precisamos derivar a função v x .

a x t = d v x d t

Vamos relembrar como derivamos função de potencia:

d t n d t = n t n - 1

Passo 3

Ok! Então, derivando, encontramos a velocidade instantânea:

a x t = d ( v x ) d t = d ( α + β t 2 ) d t = d α d t + β d t 2 d t = 0 + 2 β t

Lembrando que a derivada de uma constante é nula! Assim:

a x t = 2 β t = 0,100 ⋅ 2 t = 0,200 t

Passo 4

Então, quando: t = 0 :

a x 0 = 0.200 m / s 3 ⋅ 0

a x = 0

E quando t = 5 s :

a x 5 s = 0.200 m / s 3 ⋅ 5 s

a x = 1 m / s 2

Passo 5

O gráfico da aceleração é uma reta

E o gráfico da velocidade é uma parábola:

Resposta

a) a m é d i a = 0,500 m / s 2

b) a x 0 = 0 ;   a x ( 5 ) = 1 m / s 2

c) Gráficos do passo 5

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