Enunciado

Hélio, um gás monatômico, tem inicialmente uma pressão de 16 atm, um volume de 1,0 L e uma temperatura de 600 K. Ele sofre uma expansão quase estática à temperatura constante, até que seu volume seja 4,0 L e, então, é comprimido quase estaticamente, à pressão constante, até que seu volume e temperatura sejam tais que uma compressão adiabática quase estática o reconduz ao seu estado original.

  1. Esboce este ciclo em um diagrama PV.
  2. Determine o volume e a temperatura depois da compressão à pressão constante.
  3. Determine o trabalho realizado durante cada etapa do ciclo.
  4. Determine o rendimento do ciclo.

Passo 1

Muito bem, queremos o diagrama PV, então precisamos da pressão e do volume para cada ponto.

Vamos começar pelo primeiro processo, expansão isotérmica. Para um gás ideal usamos a fórmula:

P V = n R T

Se a temperatura não varia, o termo nRT é constante para o ponto 1 e 2, então:

P 1 . V 1 = P 2 . V 2

Já sabemos que:

P 1 = 16   a t m

V 1 = 1   L

V 2 = 4   L

Então:

16   a t m   x   1   L = P 2   x   4   L

P 2 = 4   a t m

O próximo processo é compressão à pressão constante. Então:

P 3 = 4   a t m

Precisamos de V 3 , mas se usarmos esse processo será bem mais complicado. Então vamos analisar o próximo, compressão adiabática até seu estado original.

Se temos um processo adiabático podemos usar a relação:

P 1 . V 1 γ = P 3 . V 3 γ

Onde:

γ = g + 2 g

Onde g são os graus de liberdade. Para um gás monoatômico, g = 3 :

γ = 5 3

Isolando V 3 e removendo o expoente:

V 3 . = V 1 P 1 P 3 3 5 .

Substituindo:

V 3 . = 1   L 16   a t m 4   a t m 3 5 = 2,3   L

Agora sim, temos todas as informações para o diagrama!

Passo 2

Na letra b queremos o volume e a temperatura depois da compressão à pressão constante, ou seja, V 3 e T 3 . Já resolvemos o volume enquanto fazíamos o diagrama, não é? Então vamos para a temperatura.

Vou optar pelo caminho de 1 até 3, compressão adiabática. Para esse caso, temos uma relação que vai nos ajudar bastante:

T 1 . V 1 γ - 1 = T 3 . V 3 γ - 1

Isolando a temperatura:

T 3 = T 1 V 1 V 3 2 3

Substituindo:

T 3 = 600   K 1   L 2,3   L 2 3

T 3 = 344   K

Passo 3

Muito bem, para a letra c nós precisamos calcular o trabalho para cada etapa do ciclo.

No primeiro processo, isotérmico, o trabalho é calculado como:

W 12 = n R T 1 . ln ⁡ V 2 V 1

Não temos o número de mols, mas sabemos da relação para os gases ideais:

P 1 . V 1 = n R T 1

Substituindo no trabalho:

W 12 = P 1 . V 1 . ln ⁡ V 2 V 1

Lançando os dados:

W 12 = 16   a t m   x   1   L . ln ⁡ 4   L 1   L

W 12 = 22,18   a t m . L

No segundo processo, à pressão constante, podemos calcular o trabalho por:

W 23 = P 2 ∆ V = P 2 ( V 3 - V 2 )

Substituindo os dados:

W 23 = 4 a t m   ( 2,3   L - 4 L )

W 23 = - 6,824   a t m   . L

Para finalizar, o processo adiabático. E o trabalho é dado por:

W 13 = - g 2 n R ∆ T = - g 2 n R ( T 1 - T 3 )

Lembrando que:

P V = n R T

E sabendo que g = 3

W 13 = - 3 2 P 1 . V 1 - P 3 . V 3

Substituindo:

W 13 = - 3 2 ( 16   a t m   x   1   L - 4   a t m   x   2,3   L )

W 13 = - 10,24   a t m . L

É trabalhoso, mas não difícil !

Passo 4

Estamos acabando, só precisamos da eficiência do ciclo. E como calcular?

ε = W Q q

O trabalho total será a soma de todos os trabalhos encontrados no passo 3:

W = 22,18   a t m . L - 6,824   a t m . L - 10,24   a t m . L

W = 5,12   a t m . L

O único processo onde temos o calor sendo absorvido é processo de 1 → 2 :

Q q = Q 12

Como este processo é isotérmico, não há variação da energia interna. Então:

Q 12 = W 12

Substituindo:

ε = W W 12 = 5,12   a t m . L 22,18   a t m . L = 0,20

Em porcentagem:

ε = 20   %

Resposta

  1. V 3 . = 2,3   L   | T 3 = 344   K ;  
  2. W 12 = 22,18   a t m . L     |     W 23 = - 6,824   a t m   . L   |   W 13 = - 10,24   a t m . L ;
  3. ε = 20   % .
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